2. CONVERGENCE EN PROBABILIT ´
E
207
fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X = 0, la fonction F
∗ co¨ ıncide
avec F, sauf en x = 0, c’est-` a-dire sauf au point de discontinuit´ e de F. On a
donc pour tout x de l’ensemble C(F),
F n (x) → F(x),
o` u F(x) =
0, si x < 0 ;
1, si x ≥ 0 ;
ce qui montre que X n
L
−→ 0.
Le th´ eor` eme de Paul L´ evy dont nous donnons l’´ enonc´ e ci-apr` es pr´ ecise
les relations entre convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires et
convergence de la suite des fonctions caract´ eristiques correspondantes.
Th´ eor` eme (Paul L´ evy)
1) Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires, qui converge en loi vers
une variable al´ eatoire X. Alors la suite (ϕ n ) des fonctions caract´ eristiques
correspondantes converge vers la fonction caract´ eristique ϕ de X, et ceci
uniform´ ement dans tout intervalle fini.
2) Soient (X n ) une suite de variables al´ eatoires et (ϕ n ) la suite des fonctions caract´ eristiques correspondante. Supposons que la suite (ϕ n ) converge,
au sens de la convergence simple, vers une fonction ϕ, dont la partie r´ eelle
ϕ est continue ` a l’origine. Alors
a) ϕ est une fonction caract´ eristique, c’est-` a-dire il existe une loi de
probabilit´ e µ (et une seule) dont ϕ soit la fonction caract´ eristique.
b) La suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers µ.
La partie 2) de ce th´ eor` eme fournit un outil puissant pour ´ etablir la
convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires. Elle est principalement
utilis´ ee pour d´ emontrer des versions du th´ eor` eme “central limit.” On trouvera
une d´ emonstration d’une version de cette partie 2) au paragraphe 9 de ce
chapitre.
2. Convergence en probabilit´ e
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers 0 lorsque
n tend vers l’infini, et l’on ´ ecrit X n
p
−→ 0, si pour tout ε > 0, on a :
lim
n→∞
P{|X n | > ε} = 0.
b) Soit X une variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e
(Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers X, et
l’on ´ ecrit X n
p
−→ X, si X n − X
p
−→ 0.
Remarque. — Supposons que X n
p
−→ X et que les X n , ainsi que X, soient
du premier ordre. Il n’en r´ esulte pas que la suite (E[X n ]) (n ≥ 1) converge
vers E[X], ni que, si elle converge, elle ait pour limite E[X] ; les situations les
plus diverses peuvent se pr´ esenter.
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fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X = 0, la fonction F
∗ co¨ ıncide
avec F, sauf en x = 0, c’est-` a-dire sauf au point de discontinuit´ e de F. On a
donc pour tout x de l’ensemble C(F),
F n (x) → F(x),
o` u F(x) =
0, si x < 0 ;
1, si x ≥ 0 ;
ce qui montre que X n
L
−→ 0.
Le th´ eor` eme de Paul L´ evy dont nous donnons l’´ enonc´ e ci-apr` es pr´ ecise
les relations entre convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires et
convergence de la suite des fonctions caract´ eristiques correspondantes.
Th´ eor` eme (Paul L´ evy)
1) Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires, qui converge en loi vers
une variable al´ eatoire X. Alors la suite (ϕ n ) des fonctions caract´ eristiques
correspondantes converge vers la fonction caract´ eristique ϕ de X, et ceci
uniform´ ement dans tout intervalle fini.
2) Soient (X n ) une suite de variables al´ eatoires et (ϕ n ) la suite des fonctions caract´ eristiques correspondante. Supposons que la suite (ϕ n ) converge,
au sens de la convergence simple, vers une fonction ϕ, dont la partie r´ eelle
ϕ est continue ` a l’origine. Alors
a) ϕ est une fonction caract´ eristique, c’est-` a-dire il existe une loi de
probabilit´ e µ (et une seule) dont ϕ soit la fonction caract´ eristique.
b) La suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers µ.
La partie 2) de ce th´ eor` eme fournit un outil puissant pour ´ etablir la
convergence en loi d’une suite de variables al´ eatoires. Elle est principalement
utilis´ ee pour d´ emontrer des versions du th´ eor` eme “central limit.” On trouvera
une d´ emonstration d’une version de cette partie 2) au paragraphe 9 de ce
chapitre.
2. Convergence en probabilit´ e
D´ efinition. — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies
sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P).
a) On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers 0 lorsque
n tend vers l’infini, et l’on ´ ecrit X n
p
−→ 0, si pour tout ε > 0, on a :
lim
n→∞
P{|X n | > ε} = 0.
b) Soit X une variable al´ eatoire d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e
(Ω, A, P). On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en probabilit´ e vers X, et
l’on ´ ecrit X n
p
−→ X, si X n − X
p
−→ 0.
Remarque. — Supposons que X n
p
−→ X et que les X n , ainsi que X, soient
du premier ordre. Il n’en r´ esulte pas que la suite (E[X n ]) (n ≥ 1) converge
vers E[X], ni que, si elle converge, elle ait pour limite E[X] ; les situations les
plus diverses peuvent se pr´ esenter.