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CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Exemple 1. — Prenons X n uniform´ ement r´ epartie sur [0, n] (n ≥ 1). La
suite (X n ) (n ≥ 1) ne converge pas vers une limite. En effet, pour tout x r´ eel
et n ≥ 1, on a :
F n (x) =
0,
si x < 0 ;
x/n, si 0 ≤ x < n ;
1,
si n ≤ x .
Il en r´ esulte que pour tout x on a : F n (x) → F(x) = 0, lorsque n tend vers
l’infini. Or la limite F(x) = 0 n’est pas la fonction de r´ epartition d’une loi
de probabilit´ e. On dit que la suite des lois de X n converge faiblement vers la
mesure nulle. Nous n’´ etudierons pas ici ce type de convergence.
Exemple 2. — Prenons X n de loi
1
2 (ε (−1/n) + ε (1/n) ) (n ≥ 1). La suite
(X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers la variable al´ eatoire X = 0. En effet,
F n (x) =
0,
si x < −1/n ;
1/2, si −1/n ≤ x < +1/n ;
1,
si 1/n ≤ x.
Il en r´ esulte que pour tout r´ eel x, on a :
F n (x) → F
∗ (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0.
lorsque n tend vers l’infini. La fonction F
∗ n’est pas la fonction de r´ epartition
d’une loi de probabilit´ e (elle n’est pas continue `
a droite `
a l’origine). Toutefois,
en d´ esignant par F la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X = 0,
la fonction F
∗ co¨ ıncide avec F, sauf en x = 0, c’est-` a-dire sauf au point de
discontinuit´ e de F. Pour tout x de l’ensemble C(F), on a donc
F n (x) → F(x),
o` u F(x) =
0, si x < 0 ;
1, si x ≥ 0 ;
ce qui montre que X n
L
−→ 0.
Exemple 3. — Le pr´ esent exemple fait intervenir la fonction de Dirac
introduite par les physiciens. Pour chaque n ≥ 1, prenons X n de loi N (0, σ n )
(σ n > 0) et supposons que σ n tende vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Alors
la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers la variable al´ eatoire X = 0. En
effet, pour tout r´ eel x et tout n ≥ 1, on a :
F n (x) =
1
σ n
√
2π
x
−∞
exp
−
u
2
2σ 2
n
du = Φ
x
σ n
.
Il en r´ esulte que pour tout r´ eel x, on a :
F n (x) −→ F
∗ (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0.
La fonction F
∗ n’est pas la fonction de r´ epartition d’une loi de probabilit´ e
(elle n’est pas continue `
a droite `
a l’origine). Toutefois, en d´ esignant par F la
CHAPITRE 16 : CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Exemple 1. — Prenons X n uniform´ ement r´ epartie sur [0, n] (n ≥ 1). La
suite (X n ) (n ≥ 1) ne converge pas vers une limite. En effet, pour tout x r´ eel
et n ≥ 1, on a :
F n (x) =
0,
si x < 0 ;
x/n, si 0 ≤ x < n ;
1,
si n ≤ x .
Il en r´ esulte que pour tout x on a : F n (x) → F(x) = 0, lorsque n tend vers
l’infini. Or la limite F(x) = 0 n’est pas la fonction de r´ epartition d’une loi
de probabilit´ e. On dit que la suite des lois de X n converge faiblement vers la
mesure nulle. Nous n’´ etudierons pas ici ce type de convergence.
Exemple 2. — Prenons X n de loi
1
2 (ε (−1/n) + ε (1/n) ) (n ≥ 1). La suite
(X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers la variable al´ eatoire X = 0. En effet,
F n (x) =
0,
si x < −1/n ;
1/2, si −1/n ≤ x < +1/n ;
1,
si 1/n ≤ x.
Il en r´ esulte que pour tout r´ eel x, on a :
F n (x) → F
∗ (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0.
lorsque n tend vers l’infini. La fonction F
∗ n’est pas la fonction de r´ epartition
d’une loi de probabilit´ e (elle n’est pas continue `
a droite `
a l’origine). Toutefois,
en d´ esignant par F la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X = 0,
la fonction F
∗ co¨ ıncide avec F, sauf en x = 0, c’est-` a-dire sauf au point de
discontinuit´ e de F. Pour tout x de l’ensemble C(F), on a donc
F n (x) → F(x),
o` u F(x) =
0, si x < 0 ;
1, si x ≥ 0 ;
ce qui montre que X n
L
−→ 0.
Exemple 3. — Le pr´ esent exemple fait intervenir la fonction de Dirac
introduite par les physiciens. Pour chaque n ≥ 1, prenons X n de loi N (0, σ n )
(σ n > 0) et supposons que σ n tende vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Alors
la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi vers la variable al´ eatoire X = 0. En
effet, pour tout r´ eel x et tout n ≥ 1, on a :
F n (x) =
1
σ n
√
2π
x
−∞
exp
−
u
2
2σ 2
n
du = Φ
x
σ n
.
Il en r´ esulte que pour tout r´ eel x, on a :
F n (x) −→ F
∗ (x) =
0,
si x < 0 ;
1/2, si x = 0 ;
1,
si x > 0.
La fonction F
∗ n’est pas la fonction de r´ epartition d’une loi de probabilit´ e
(elle n’est pas continue `
a droite `
a l’origine). Toutefois, en d´ esignant par F la