CHAPITRE 16
CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Dans ce chapitre, nous consid´ erons des suites (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et nous ´ etudions
le comportement asymptotique de telles suites lorsque n tend vers l’infini.
Plusieurs types de convergence se sont impos´ es (convergence en loi, en
probabilit´ e, presque sˆ ure, en moyenne d’ordre r > 0, et bien d’autres). Nous
passons en revue les plus importants de ces types.
1. Convergence en loi, ou convergence ´ etroite
D´ efinition. — Donnons-nous :
a) une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables al´ eatoires d´ efinies sur un espace
probabilis´ e (Ω, A, P) (on d´ esigne par (F n ) (n ≥ 1) la suite des fonctions de
r´ epartition correspondantes) ;
b) une variable al´ eatoire X d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e
(Ω, A, P) (on d´ esigne par F sa fonction de r´ epartition ; on notera que
F(+∞) = 1 et que F(−∞) = 0).
On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi (ou ´ etroitement) vers X,
et l’on ´ ecrit X n
L
−→ X, ou L(X n ) → L(X), si en tout point x de continuit´ e
de F (en abr´ eg´ e : x ∈ C(F)), on a F n (x) → F(x), lorsque n tend vers l’infini.
(En toute rigueur, il faudrait dire que la suite de lois L(X n ) converge en
loi, ou ´ etroitement, vers la loi L(X), mais la terminologie que nous adoptons
est courante et justifi´ ee.)
Remarque. — Supposons que X n
L
−→ X et que les X n , ainsi que X, soient
du premier ordre (i.e., aient des esp´ erances math´ ematiques finies). Il n’en
r´ esulte pas que la suite (E[X n ]) (n ≥ 1) converge, ni que, si elle converge, elle
ait pour limite E[X] ; les situations les plus diverses peuvent se pr´ esenter.
Par exemple, soit (a n ) (n ≥ 1) une suite de nombres r´ eels strictement
positifs ; associons-lui une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables al´ eatoires de lois
(1/n)ε a n + (1 − (1/n))ε 0 . On v´ erifie que la suite (X n ) converge en loi vers
X = 0 (donc E[X] = 0) et que E[X n ] = a n /n pour tout n ≥ 0. On a les
comportements suivants :
si a n =
√
n, alors E[X n ] = 1/
√
n → 0 = E[X] ;
si a n = n, alors E[X n ] = 1 → 1 = E[X] ;
si a n = n
2 , alors E[X n ] = n → +∞ = E[X] ;
si a n = n[2 + (−1)
n ], la suite E[X n ] = 2 + (−1)
n oscille.
CONVERGENCES STOCHASTIQUES
Dans ce chapitre, nous consid´ erons des suites (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et nous ´ etudions
le comportement asymptotique de telles suites lorsque n tend vers l’infini.
Plusieurs types de convergence se sont impos´ es (convergence en loi, en
probabilit´ e, presque sˆ ure, en moyenne d’ordre r > 0, et bien d’autres). Nous
passons en revue les plus importants de ces types.
1. Convergence en loi, ou convergence ´ etroite
D´ efinition. — Donnons-nous :
a) une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables al´ eatoires d´ efinies sur un espace
probabilis´ e (Ω, A, P) (on d´ esigne par (F n ) (n ≥ 1) la suite des fonctions de
r´ epartition correspondantes) ;
b) une variable al´ eatoire X d´ efinie sur le mˆ eme espace probabilis´ e
(Ω, A, P) (on d´ esigne par F sa fonction de r´ epartition ; on notera que
F(+∞) = 1 et que F(−∞) = 0).
On dit que la suite (X n ) (n ≥ 1) converge en loi (ou ´ etroitement) vers X,
et l’on ´ ecrit X n
L
−→ X, ou L(X n ) → L(X), si en tout point x de continuit´ e
de F (en abr´ eg´ e : x ∈ C(F)), on a F n (x) → F(x), lorsque n tend vers l’infini.
(En toute rigueur, il faudrait dire que la suite de lois L(X n ) converge en
loi, ou ´ etroitement, vers la loi L(X), mais la terminologie que nous adoptons
est courante et justifi´ ee.)
Remarque. — Supposons que X n
L
−→ X et que les X n , ainsi que X, soient
du premier ordre (i.e., aient des esp´ erances math´ ematiques finies). Il n’en
r´ esulte pas que la suite (E[X n ]) (n ≥ 1) converge, ni que, si elle converge, elle
ait pour limite E[X] ; les situations les plus diverses peuvent se pr´ esenter.
Par exemple, soit (a n ) (n ≥ 1) une suite de nombres r´ eels strictement
positifs ; associons-lui une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables al´ eatoires de lois
(1/n)ε a n + (1 − (1/n))ε 0 . On v´ erifie que la suite (X n ) converge en loi vers
X = 0 (donc E[X] = 0) et que E[X n ] = a n /n pour tout n ≥ 0. On a les
comportements suivants :
si a n =
√
n, alors E[X n ] = 1/
√
n → 0 = E[X] ;
si a n = n, alors E[X n ] = 1 → 1 = E[X] ;
si a n = n
2 , alors E[X n ] = n → +∞ = E[X] ;
si a n = n[2 + (−1)
n ], la suite E[X n ] = 2 + (−1)
n oscille.