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CHAPITRE 15 : FONCTIONS DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
11. (A. Joffe). — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi commune N (0, 1).
1) Puisque X et Y sont ind´ ependantes, on a L( |X| | Y = 0) = L(|X|).
Cette loi admet pour densit´ e : f (x) =
2
√
2π
e
−x
2 /2 (x ≥ 0).
2) Introduisons les coordonn´ ees polaires
R =
X 2 + Y 2 , Θ = Arctg(Y /X).
On a vu dans ce pr´ esent chapitre, § 2, Exemple 1, que les variables al´ eatoires
R et Θ sont ind´ ependantes. Par cons´ equent L(R | Θ = 0) = L(R). La loi de R
est la loi de Rayleigh, de densit´ e g(x) = xe
−x
2 /2 (x ≥ 0). Cet exemple illustre
le fait que la densit´ e conditionnelle n’a pas de sens intrins` eque et doit ˆ etre
d´ efinie au moyen d’une densit´ e conjointe dans un syst` eme de coordonn´ ees
donn´ e.
12. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont
chacune suit la loi N (0, 1). D´ eterminer la loi des variables al´ eatoires :
a) U =
X
|Y |
;
b) Z =
X + Y
|X − Y |
.
(La loi de Z est la loi de Student `
a un degr´ e de libert´ e.)
13. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, suivant
chacune la loi de Cauchy C(0, 1).
La moyenne harmonique H =
1
2
1
X
+
1
Y
−1
suit encore la loi de Cauchy
C(0, 1).
Cet ´ enonc´ e se v´ erifie facilement, puisque l’inverse d’une variable al´ eatoire
de Cauchy est encore de Cauchy et que la moyenne arithm´ etique de deux
variables al´ eatoires de Cauchy, ind´ ependantes, est encore de Cauchy.