COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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6. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont
chacune suit la loi N (0, 1). Soit A =
a b
c d
une matrice 2 × 2 orthogonale.
On pose
U
V
= A
X
Y
, c’est-` a-dire U = aX + bY , V = cX + dY .
a) Le couple (U, V ) est encore form´ e de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont chacune suit la loi N (0, 1).
b) Si T suit la loi de Cauchy C(0, 1), il en est de mˆ eme de Z =
a + bT
c + dT
.
7. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, dont
chacune suit la loi N (0, 1). On pose U = 2X, V = X − Y .
a) D´ eterminer la densit´ e conjointe du couple (U, V ), ainsi que les densit´ es marginales de U et de V .
b) D´ eterminer la densit´ e conditionnelle de U conditionnellement `
a l’´ ev` enement {V = 0}.
c) D´ eterminer la densit´ e conditionnelle de X + Y conditionnellement `
a
{V = 0}.
d) On constate que les densit´ es conditionnelles trouv´ ees en b) et c)
sont ´ egales entre elles et que leur valeur commune est la densit´ e (non
conditionnelle) de X + Y ; en d’autres termes, on constate que
L(2X | X − Y = 0) = L(X + Y | X − Y = 0) = L(X + Y ).
Aurait-on pu pr´ evoir ce r´ esultat ?
8. — Soit (U 1 , . . . , U n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes
admettant toutes la loi uniforme sur [0, 1]. La loi de X =
n
i=1
U i a pour densit´ e
f (x) =



1
(n − 1)!
Log
1
x
n−1
, si 0 < x ≤ 1 ;
0,
sinon.
9. — Soit X une variable al´ eatoire suivant la loi de Cauchy C(0, 1).
a) Montrer que X et 1/X ont mˆ eme loi.
b) On pose : Y =
X,
avec probabilit´ e 1/2 ;
1/X, avec probabilit´ e 1/2.
Montrer que L(Y ) = C(0, 1).
10. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont
chacune suit la loi N (0, 1). On pose U = XY et V = X/Y .
1) D´ eterminer la densit´ e conjointe de (U, V ).
2) En d´ eduire les densit´ es marginales de U et de V .