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CHAPITRE 15 : FONCTIONS DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
3) La variable al´ eatoire 1 + Z = 1 +
Y
X
=
X + Y
Y
est le rapport de
deux variables al´ eatoires sym´ etriques, mais n’est pas elle-mˆ eme sym´ etrique,
puisqu’elle suit la loi de Cauchy C(1, 1).
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit X une variable al´ eatoire suivant la loi de Cauchy C(0, 1). Alors
la variable al´ eatoire Y =
1 + X
1 − X
suit encore la loi de Cauchy C(0, 1).
2. — Soit X une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur l’intervalle
] − π/2, +π/2[. Alors la variable al´ eatoire Y = tg X suit la loi de Cauchy
C(0, 1).
3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, dont
chacune suit la loi E(λ) (λ > 0). Alors la variable al´ eatoire U =
X
Y
, a pour
densit´ e f (u) =
1
(1 + u) 2 (u ≥ 0). Elle n’admet pas d’esp´ erance math´ ematique
finie. La variable al´ eatoire V = U + 1 =
X + Y
Y
admet pour densit´ e
g(v) = 1/v
2 (v ≥ 1) ; elle suit la loi de Pareto P(1, 1).
4. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, de lois
marginales L(X) = Γ(r, λ), L(Y ) = Γ(s, λ) (r, s, λ > 0). Posons U = X + Y ,
V =
X
X + Y
.
a) Le couple (U, V ) est ind´ ependant.
b) L(U ) = Γ(r + s, λ), L(V ) = B(r, s) (loi bˆ eta). On constate que la loi
marginale de V ne d´ epend pas de λ > 0.
5. — Soit (U, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, U ´ etant
uniforme sur [0, 1] et Y absolument continue de densit´ e g. On consid` ere la
variable al´ eatoire X = UY et on d´ esigne par f sa densit´ e.
a) Calculer f en fonction de g.
b) On suppose que le support de Y soit [0, +∞[. Montrer que f est
d´ erivable et que f et g sont li´ ees par la relation xf
(x) + g(x) = 0. En
d´ eduire que f admet un mode et un seul situ´ e en x = 0.
c) On suppose que le support de Y soit R. Montrer que f admet encore
un mode et un seul situ´ e en x = 0.
d) On prend g(x) =
x
2
√
2π
e
−x
2 /2 , o` u x ∈ R. Montrer que f est la densit´ e
de N (0, 1).