3. FONCTION DE DEUX VARIABLES AL ´
EATOIRES
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Cette fonction admet une valeur finie pour tout u = 0. Pour un tel u on peut
faire le changement de variable v
2 = |u|t et l’on obtient
g(u) =
1
2π
∞
0
exp
−
|u|
2
t +
1
t
dt
t
.
On ne peut exprimer l’int´ egrale ` a l’aide des seules fonctions ´ el´ ementaires ;
on montre qu’elle s’exprime `
a l’aide des fonctions de Bessel (cf. Exercice 8,
chap. 13).
Exemple 3 (loi du rapport). — Consid´ erons u =
x
y
, de sorte que U =
X
Y
.
Alors u =
x
y
, v = y, d’o` u x = uv, y = v, J =
v u
0 1
= v et
g(u) =
R
f (uv, v) |v| dv
(u ∈ R).
Dans le cas particulier o` u (X, Y ) est ind´ ependant, on a f (x, y) = f 1 (x)f 2 (y)
et
g(u) =
R
f 1 (uv)f 2 (v) |v| dv
(u ∈ R).
Application. — Prenons L(X) = N (0, 1), L(Y ) = N (0, 1). La densit´ e
g(u) de U = X/Y est donn´ ee par
g(u) =
1
2π
R
exp
−
v
2
2
(1 + u
2 )
|v| dv =
1
π
∞
0
exp
−
v
2
2
(1 + u
2 )
v dv,
d’o` u, en faisant le changement de variables v
2 (1 + u
2 )/2 = t,
g(u) =
1
π
1
1 + u 2
∞
0
e
−t dt =
1
π
1
1 + u 2
(u ∈ R).
On constate que le rapport de deux variables al´ eatoires, ind´ ependantes,
normales, r´ eduites, suit la loi de Cauchy C(0, 1)
Cette propri´ et´ e a des cons´ equences surprenantes :
1) Les variables al´ eatoires X/Y et Y /X ont ´ evidemment la mˆ eme loi.
Donc l’inverse d’une variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1) est encore une
variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1).
2) Soit Z une variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1). Elle a mˆ eme loi
que X/Y , o` u X, Y sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes normales
r´ eduites. De l` a
1 + Z
1 − Z
a mˆ eme loi que
1 +
Y
X
1 −
Y
X
=
X + Y
X − Y
=
X + Y
√
2
X − Y
√
2
.
Or
X + Y
√
2
,
X − Y
√
2
est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes
normales r´ eduites. Donc
1 + Z
1 − Z
suit encore la loi de Cauchy C(0, 1).