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CHAPITRE 15 : FONCTIONS DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
(a) Loi de probabilit´ e du couple (U, V ). — On suppose que (x, y) →
(u, v) = (u(x, y), y) est une bijection continˆ ument diff´ erentiable de R
2 sur
R
2 et l’on introduit la bijection inverse (u, v) → (x, y) = (h(u, v), v). Il en
r´ esulte J =
D(x, y)
D(u, v)
=
h
u
h
v
0
1
= h
u . D’apr` es le Th´ eor` eme 2.1, le couple
(U, V ) est absolument continu et sa densit´ e conjointe g est donn´ ee par
g(u, v) = f
h(u, v), v
|h
u (u, v)|
((u, v) ∈ R
2 ).
(b) Loi de probabilit´ e de U . — Elle est donn´ ee par sa densit´ e
g(u) = g(u, ·) =
R
f
h(u, v), v
|h
u (u, v)| dv (u ∈ R).
Exemple 1 (loi de la somme). — Soient u = x + y et v = y, de sorte que
U = X + Y et x = u − v, y = v, d’o` u J =
1 −1
0 1
= 1 et
g(u) =
R
f (u − v, v) dv
(u ∈ R).
Cas particulier (produit de convolution). — Dans le cas o` u le couple (X, Y )
est ind´ ependant, sa densit´ e conjointe se factorise : f (x, y) = f 1 (x)f 2 (y), o` u
f 1 , f 2 sont les densit´ es de X, Y , respectivement, et
g(u) =
R
f 1 (u − v) f 2 (v) dv
(u ∈ R).
On dit que g = f 1 ∗ f 2 est le produit de convolution de f 1 , f 2 .
Application. — Prenons L(X) = N (µ 1 , σ 1 ), L(Y ) = N (µ 2 , σ 2 ) (µ 1 , µ 2 ∈
R, σ 1 , σ 2 > 0). On peut v´ erifier que L(X + Y ) = N (µ 1 + µ 2 ,
σ 2
1 + σ 2
2 ).
Le calcul direct est fastidieux, il est pr´ ef´ erable d’utiliser la technique des
fonctions g´ en´ eratrices ou des fonction caract´ eristiques.
Exemple 2 (loi du produit). — Prenons u = xy et v = y, de sorte que
U = XY et x = u/v, y = v, d’o` u J =
1/v −u/v
2
0
1
= 1/v et
g(u) =
R
f
u
v
, v
1
|v|
dv
(u ∈ R).
Dans le cas o` u (X, Y ) est ind´ ependant, on a f (x, y) = f 1 (x)f 2 (y) et
g(u) =
R
f 1 (u/v)f 2 (v)
1
|v|
dv
(u ∈ R).
Application. — Prenons L(X) = N (0, 1), L(Y ) = N (0, 1). La densit´ e
g(u) de U = XY est donn´ ee par
g(u) =
1
2π
R
exp
−
1
2
u
2
v 2 + v
2
1
|v|
dv
=
1
π
∞
0
exp
−
1
2
u
2
v 2 + v
2
1
v
dv.