3. FONCTION DE DEUX VARIABLES AL ´
EATOIRES
199
(2) Lois marginales. — Les densit´ es marginales de R et de Θ s’en
d´ eduisent imm´ ediatement :
g(r, ·) =
2π
0
g(r, θ) dθ = e
−r
2 /2 r
(r ∈]0, +∞[ )
g(·, θ) =
∞
0
g(r, θ) dr =
1
2π
(θ ∈ [0, 2π[ ).
Remarque. — La loi de R, de densit´ e g(r, ·) = e
−r
2 /2 r (r ∈]0, +∞[ ) est
appel´ ee loi de Rayleigh. La fonction de survie de R est donn´ ee par
P{R > r} =
∞
r
e
−t
2 /2 t dt = e
−r
2 /2
(r > 0);
et son esp´ erance math´ ematique par
E[R] =
∞
0
P{R > r} dr =
∞
0
e
−r
2 /2 dr =
π
2
.
(3) Les variables al´ eatoires R et Θ sont ind´ ependantes. — Il r´ esulte de
(1) et (2) que g(r, θ) = g(r, ·)g(·, θ), (r, θ) ∈ ( ]0, +∞[×[0, 2π[ ), ce qui assure
l’ind´ ependance de R et Θ, donc aussi celle de R et Y /X.
Exemple 2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
dont chacune suit la loi N (0, 1). Posons U = (X + Y )/
√
2, V = (X − Y )/
√
2.
Alors le couple (U, V ) est form´ e de variables al´ eatoires ind´ ependantes, dont
chacune suit la loi N (0, 1).
D´ emonstration. — La densit´ e conjointe de (X, Y ) est
f (x, y) =
1
2π
exp
−
1
2
(x
2 + y
2 )
.
Faisons le changement de variables u = (x + y)/
√
2, v = (x − y)/
√
2, qui
´ etablit une bijection de R
2 sur R
2 . On calcule successivement x = (u+v)/
√
2,
y = (u − v)/
√
2, D(x, y)/D(u, v) = −1, d’o` u la densit´ e conjointe g(u, v) de
(U, V ) :
g(u, v) = f
u + v
√
2
,
u − v
√
2
.1 =
1
2π
exp
−
1
2
u + v
√
2
2
+
u − v
√
2
2
=
1
√
2π
e
−u
2 /2
.
1
√
2π
e
−v
2 /2
.
3. Loi de probabilit´ e d’une fonction de deux variables al´ eatoires.
Soient (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles, absolument continu,
de densit´ e conjointe f et u : R
2
→ R une fonction mesurable. On se propose
de d´ eterminer la loi de probabilit´ e de la variable al´ eatoire U = u ◦ (X, Y ),
moyennant des conditions de r´ egularit´ e appropri´ ees sur la fonction u. A cet
effet, nous consid´ erons U comme la premi` ere variable al´ eatoire marginale du
couple (U, V ), avec U = u ◦ (X, Y ) et V = Y .