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CHAPITRE 15 : FONCTIONS DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
Alors (U, V ) = G ◦ (X, Y ) = (u ◦ (X, Y ), v ◦ (X, Y )) est un couple de
variables al´ eatoires r´ eelles `
a valeurs dans T , absolument continu, et dont la
densit´ e conjointe g est donn´ ee par
g(u, v) = f
h 1 (u, v), h 2 (u, v)
|J| I T (u, v).
D´ emonstration. — On a, pour tout bor´ elien A ⊂ T ,
P{(U, V ) ∈ A} = P{(X, Y ) ∈ H(A)} =
R 2
f (x, y) I H(A) (x, y) dx dy,
d’o` u, en faisant le changement de variables x = h 1 (u, v), y = h 2 (u, v),
P{(U, V ) ∈ A} =
R 2
f
h 1 (u, v), h 2 (u, v)
|J| I A (u, v) du dv.
Remarque. — Dans la derni` ere int´ egrale ´ ecrite, on a utilis´ e la formule
du changement de variables dans les int´ egrales doubles, qui exige que le
jacobien J ne s’annule jamais sur A. Pour avoir un champ d’application plus
g´ en´ eral, on peut supposer que J = 0, sauf sur ensemble n´ egligeable I tel que
H(I) est encore n´ egligeable.
Exemple 1. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
dont chacune suit la loi N (0, 1). La loi du couple a donc pour densit´ e
f (x, y) =
1
2π
exp
−
x
2 + y
2
2
.
On lui associe le couple (R, Θ) d´ efini par
R = (X
2 + Y
2 )
1/2 , Θ = Arc tg
Y
X
.
(1) Loi conjointe de (R, Θ). — D’abord
(x, y) → (r, θ) =
(x
2 + y
2 )
1/2 , Arc tg
y
x
est une bijection continˆ ument diff´ erentiable de S = R
2
\ {0} sur T =
]0, +∞[×[0, 2π[. La bijection inverse est
(r, θ) → (x, y) = (r cos θ, r sin θ),
d’o` u l’on d´ eduit
J =
x
r
x
θ
y
r
y
θ
=
cos θ −r sin θ
sin θ rcos θ
= r.
La densit´ e conjointe de (R, Θ) est donc donn´ ee par
g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) |J|
=
1
2π
e
−r
2 /2 r
r, θ) ∈]0, +∞[×[0, 2π[
.