2. CAS `
A DEUX DIMENSIONS
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Si la variable al´ eatoire X est paire, on a :
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
2 f (y), pour y > 0.
Par exemple, si L(X) = N (0, 1), la variable Y = |X| a pour densit´ e
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
2
√
2π
e
−y
2 /2 , pour y > 0.
Exemple 2. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, absolument continue,
de densit´ e f . Soit `
a calculer la densit´ e de Y = X
2 . De nouveau, u(x) = x
2
n’est pas une bijection de R sur R
+ .
Commen¸ cons par calculer la fonction de r´ epartition F Y de Y :
F Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
P{Y ≤ y} = P{−
√ y ≤ X ≤ +
√ y}, pour y > 0.
De mˆ eme, puisque la loi de probabilit´ e de X est diffuse,
F Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
F X (
√ y) − F X (−
√ y), pour y > 0.
Par d´ erivation,
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
1
2
√ y
f (
√ y) + f (−
√ y), pour y > 0.
Si la variable al´ eatoire X est paire, on a :
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
1
√ y
f (
√ y), pour y > 0.
Par exemple, si L(X) = N (0, 1), la variable Y = X
2 a pour densit´ e
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
1
√
2π
1
√ y
e
−y/2 , pour y > 0.
C’est la loi du Chi-deux `
a un degr´ e de libert´ e.
2. Cas ` a deux dimensions
Th´ eor` eme 2.1. — D´ esignons par S et T deux ouverts de R
2 et soit
(X, Y ) un couple de variables al´ eatoires, `
a valeurs dans S, absolument
continu, de densit´ e conjointe f . Soit
G : (x, y) → (u, v) = (u(x, y), v(x, y))
une bijection continˆ ument diff´ erentiable de S sur T ; soit
H = G
−1 : (u, v) → (x, y) = (h 1 (u, v), h 2 (u, v))
la bijection inverse de T sur S. (Les d´ eriv´ ees partielles D u h 1 , D v h 1 , D u h 2 ,
D v h 2 sont donc elles-mˆ emes continues.) On note
J =
D(h 1 , h 2 )
D(u, v)
=
D(x, y)
D(u, v)
=
D u h 1 D v h 1
D u h 2 D v h 2
le jacobien de la bijection inverse H.