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CHAPITRE 15 : FONCTIONS DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
Exemple 2. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, de densit´ e f . Alors
Y =
1
X
est une variable al´ eatoire r´ eelle, de densit´ e :
g(y) =
1
y 2 f
1
y
(y = 0).
(En toute rigueur, il faudrait n’utiliser le Th´ eor` eme 1.1 que pour R \ {0}.
Cependant, la variable al´ eatoire X ´ etant absolument continue, on a P{X =
0} = 0, de sorte que l’on peut n´ egliger l’origine.)
Cas particulier 1. — Prenons L(X) = N (0, 1) ; alors Y =
1
X
admet pour
densit´ e :
g(y) =
1
√
2π
1
y 2 exp
−
1
2y 2
(y = 0).
On constate que E[ |Y | ] =
R
|y| g(y) dy =
1
√
2π
R
1
|y|
exp
−
1
2y 2
dy =
+∞. Ainsi l’inverse d’une variable al´ eatoire normale r´ eduite n’admet pas
d’esp´ erance math´ ematique.
Cas particulier 2. — Prenons pour L(X) la loi de Cauchy C(0, 1). Alors
Y =
1
X
admet pour densit´ e :
g(y) =
1
y 2
1
π
1
1 +
1
y 2
=
1
π
1
1 + y 2 .
On constate que Y suit encore la loi de Cauchy C(0, 1).
Remarque. — Dans le cas o` u l’application u n’est pas bijective, il n’y a
pas de m´ ethode g´ en´ erale pour d´ eterminer la densit´ e de u ◦ X, mais, dans la
plupart des cas particuliers qui se pr´ esentent, on peut imaginer un traitement
ad´ equat.
Exemple 1. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, absolument continue, de
densit´ e f . Soit `
a d´ eterminer la densit´ e g de Y = |X|. On voit que u(x) = |x|
n’est pas une bijection de R sur R
+ . On peut alors adopter la m´ ethode
suivante : commen¸ cons par calculer la fonction de r´ epartition F Y de Y :
F Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
P{Y ≤ y} = P{−y ≤ X ≤ +y}, pour y > 0.
Comme la loi de probabilit´ e de X est diffuse, on peut encore ´ ecrire
F Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
F X (y) − F X (−y), pour y > 0.
On en d´ eduit la densit´ e f Y de Y par d´ erivation :
f Y (y) =
0,
pour y ≤ 0 ;
f (y) + f (−y), pour y > 0.