CHAPITRE 15
LOIS DE PROBABILIT ´
E DE FONCTIONS
DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
Nous nous proposons dans ce chapitre de d´ eterminer les lois de certaines
fonctions de variables al´ eatoires. Nous nous restreignons au cas o` u ces
variables al´ eatoires sont absolument continues.
1. Cas ` a une dimension
Th´ eor` eme 1.1. — D´ esignons par S, T deux intervalles ouverts, finis ou
non, de R. Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle `
a valeurs dans S, absolument
continue, de densit´ e f ; soient u une bijection continˆ ument d´ erivable de S
sur T et h = u
−1 la bijection inverse de T sur S. Alors Y = u ◦ X est
une variable al´ eatoire r´ eelle `
a valeurs dans T , absolument continue, dont la
densit´ e g est donn´ ee par :
g(y) = f
h(y)
|h
(y)| I T (y).
D´ emonstration. — On a, pour tout bor´ elien A ⊂ T ,
P{Y ∈ A} = P{X ∈ h(A)} =
R
f (x) I h(A) (x) dx,
d’o` u, en faisant le changement de variables x = h(y),
P{Y ∈ A} =
R
f
h(y)
|h
(y)| I A (y) dy.
Nous donnons d’abord quelques exemples, qui sont de simples applications
du Th´ eor` eme 1.1.
Exemple 1. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, de densit´ e f . Alors
Y = e
X est une variable al´ eatoire r´ eelle ` a valeurs strictement positives, dont
la densit´ e g est donn´ ee par :
g(y) =
1
y
f
Log y
I ]0,+∞[ (y).
Cas particulier. — Prenons L(X) = N (µ, σ) (µ ∈ R, σ > 0) ; alors Y = e
X
admet pour densit´ e
g(y) =
1
σ
√
2π
1
y
exp
−
1
2
Log y − µ
σ
2
I ]0,+∞[ (y).
La variable al´ eatoire Y est appel´ ee variable al´ eatoire log-normale, de param` etres µ, σ.