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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
c) Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
admettant toutes la loi E(λ) (λ > 0). On pose M = max 1≤k≤n X k .
Calculer P{M >
n
k=1 X k − M }.
11. — Soit X une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1].
Calculer son ´ ecart e r d’ordre r par rapport `
a l’origine ; en d´ eduire sa moyenne
g´ eom´ etrique e 0 .
12. — Soit (Y 1 , . . . , Y n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, de loi commune N (0, 1). La variable
al´ eatoire X
2 = Y
2
1 +· · ·+Y
2
n suit la loi χ
2
n , c’est-` a-dire la loi Γ(n/2, 1/2), dont
nous d´ esignerons la densit´ e par g. La variable al´ eatoire X =
Y 2
1 + · · · + Y 2
n
admet alors la loi de densit´ e
f (x) = 2xg(x
2 ) =
1
2 (n/2)−1
1
Γ(n/2)
x
n−1 e
−x
2 /2
(x ≥ 0).
a) Pour n = 2, la loi de X =
Y 2
1 + Y 2
2 a pour densit´ e f (x) = xe
−x
2 /2
(x ≥ 0) (loi de Rayleigh). Elle co¨ ıncide avec la loi de Weibull de param` etres
α = 2, λ = 1/2.
b) Pour n = 3, la loi de X =
Y 2
1 + Y 2
2 + Y 2
3 a pour densit´ e f (x) =
2
π
x
2 e
−x
2 /2 (x ≥ 0) (loi de Maxwell).
c) La densit´ e conjointe de (Y 1 , . . . , Y n ) est donn´ ee par
h(y 1 , . . . , y n ) =
1
(
√
2π) n
exp
−
y
2
1 + · · · + y
2
n
2
=
1
(
√
2π) n
e
−x
2 /2 ,
o` u l’on a pos´ e x
2 = y
2
1 + · · · + y
2
n . On voit que h(y 1 , . . . , y n ) ne d´ epend que
de x ≥ 0 ; on la notera h(x). D´ esignons par A n (x) l’aire de la sph` ere S n (0, x)
(x > 0). Alors f (x) = A n (x)h(x), c’est-` a-dire
1
2 (n/2)−1
1
Γ(n/2)
x
n−1 e
−x
2 /2 = A n (x)
1
2 n/2 π n/2 e
−x
2 /2 ,
d’o` u
A n (x) = 2
π
n/2
Γ(n/2)
x
n−1 .
Le volume V n (x) de la boule B n (0, x) (x > 0) s’obtient alors imm´ ediatement :
V n (x) =
x
0
A n (t) dt =
π
n/2
Γ(1 + n/2)
x
n .
13. a) Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes uniform´ ement r´ eparties sur [0, 1]. D´ eterminer la densit´ e et la fonction caract´ eristique de X = X 1 − X 2 et de 2X.
b) Soit (Y 1 , Y 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes
uniform´ ement r´ eparties sur [−1, +1]. Posons Y = Y 1 + Y 2 . Montrer que
L(Y ) = L(2X).
CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
c) Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
admettant toutes la loi E(λ) (λ > 0). On pose M = max 1≤k≤n X k .
Calculer P{M >
n
k=1 X k − M }.
11. — Soit X une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1].
Calculer son ´ ecart e r d’ordre r par rapport `
a l’origine ; en d´ eduire sa moyenne
g´ eom´ etrique e 0 .
12. — Soit (Y 1 , . . . , Y n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, de loi commune N (0, 1). La variable
al´ eatoire X
2 = Y
2
1 +· · ·+Y
2
n suit la loi χ
2
n , c’est-` a-dire la loi Γ(n/2, 1/2), dont
nous d´ esignerons la densit´ e par g. La variable al´ eatoire X =
Y 2
1 + · · · + Y 2
n
admet alors la loi de densit´ e
f (x) = 2xg(x
2 ) =
1
2 (n/2)−1
1
Γ(n/2)
x
n−1 e
−x
2 /2
(x ≥ 0).
a) Pour n = 2, la loi de X =
Y 2
1 + Y 2
2 a pour densit´ e f (x) = xe
−x
2 /2
(x ≥ 0) (loi de Rayleigh). Elle co¨ ıncide avec la loi de Weibull de param` etres
α = 2, λ = 1/2.
b) Pour n = 3, la loi de X =
Y 2
1 + Y 2
2 + Y 2
3 a pour densit´ e f (x) =
2
π
x
2 e
−x
2 /2 (x ≥ 0) (loi de Maxwell).
c) La densit´ e conjointe de (Y 1 , . . . , Y n ) est donn´ ee par
h(y 1 , . . . , y n ) =
1
(
√
2π) n
exp
−
y
2
1 + · · · + y
2
n
2
=
1
(
√
2π) n
e
−x
2 /2 ,
o` u l’on a pos´ e x
2 = y
2
1 + · · · + y
2
n . On voit que h(y 1 , . . . , y n ) ne d´ epend que
de x ≥ 0 ; on la notera h(x). D´ esignons par A n (x) l’aire de la sph` ere S n (0, x)
(x > 0). Alors f (x) = A n (x)h(x), c’est-` a-dire
1
2 (n/2)−1
1
Γ(n/2)
x
n−1 e
−x
2 /2 = A n (x)
1
2 n/2 π n/2 e
−x
2 /2 ,
d’o` u
A n (x) = 2
π
n/2
Γ(n/2)
x
n−1 .
Le volume V n (x) de la boule B n (0, x) (x > 0) s’obtient alors imm´ ediatement :
V n (x) =
x
0
A n (t) dt =
π
n/2
Γ(1 + n/2)
x
n .
13. a) Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes uniform´ ement r´ eparties sur [0, 1]. D´ eterminer la densit´ e et la fonction caract´ eristique de X = X 1 − X 2 et de 2X.
b) Soit (Y 1 , Y 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes
uniform´ ement r´ eparties sur [−1, +1]. Posons Y = Y 1 + Y 2 . Montrer que
L(Y ) = L(2X).