COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
193
9. a) Soit X une variable al´ eatoire suivant la premi` ere loi de Laplace, c’est` a-dire de densit´ e f (x) = (1/2) exp(− |x|) (x ∈ R). Calculer la fonction
g´ en´ eratrice de |X| ; en d´ eduire sa loi.
b) Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi
E(1). Calculer les fonctions g´ en´ eratrices des variables al´ eatoires X 1 +X 2 ,
X 1 − X 2 , |X 1 − X 2 | ; en d´ eduire leurs lois.
c) La premi` ere loi de Laplace L admet pour fonction g´ en´ eratrice g(u) =
1/(1−u
2 ) (|u| < 1). Cette fonction peut se factoriser de deux mani` eres
diff´ erentes :
α)
1
1 − u 2 =
1
1 − u
1
1 + u
;
β)
1
1 − u 2 =
1
√
1 − u 2
2
.
α) Montrer que L est la loi de la sym´ etris´ ee d’une variable al´ eatoire de
loi E(1).
β) Montrer que L est la loi de X 1 X 2 + X 3 X 4 (ou de
X 1 X 2
X 3 X 4
), o` u
(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) est un syst` eme de quatre variables al´ eatoires ind´ ependantes de la loi N (0, 1) (cf. Exercice 9 du chap. 13).
On est ici en pr´ esence d’un ph´ enom` ene qui ne se produit pas pour une
loi normale : une loi normale n’admet pas de facteurs non d´ eg´ en´ er´ es
autres que normaux. Ceci est un argument suppl´ ementaire qui justifie le
remplacement de la premi` ere loi de Laplace par la seconde loi, `
a savoir
la loi normale, dans la th´ eorie des erreurs.
10. a) Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, ` a valeurs
positives, o` u Y suit la loi exponentielle E(λ) (λ > 0). D´ esignons par L(u)
la transform´ ee de Laplace de X, c’est-` a-dire L(u) = E[e
−uX ] (u ≥ 0).
Montrer que P{Y > X} = L(λ).
b) Soit (X 1 , . . . , X n , Y ) un syst` eme de (n +1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a valeurs positives, o` u Y suit la loi exponentielle E(λ) (λ > 0).
Montrer que
P{Y > X 1 + · · · + X n } = P{Y > X 1 } . . . P{Y > X n }.
Cas particulier. — Pour n = 2 on a
(1)
P{Y > X 1 + X 2 } = P{Y > X 1 }P{Y > X 2 }.
Or P{Y > X} = L(λ) > 0 ; la relation (1) est donc ´ equivalente `
a la
suivante
(2)
P{Y > X 1 + X 2 | Y > X 2 } = P{Y > X 1 }.
Si (X 1 , X 2 , Y ) est un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a
valeurs positives, o` u Y suit une loi exponentielle, on a alors la propri´ et´ e
d’absence de m´ emoire sous la forme g´ en´ eralis´ ee (2).
EMENTS ET EXERCICES
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9. a) Soit X une variable al´ eatoire suivant la premi` ere loi de Laplace, c’est` a-dire de densit´ e f (x) = (1/2) exp(− |x|) (x ∈ R). Calculer la fonction
g´ en´ eratrice de |X| ; en d´ eduire sa loi.
b) Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi
E(1). Calculer les fonctions g´ en´ eratrices des variables al´ eatoires X 1 +X 2 ,
X 1 − X 2 , |X 1 − X 2 | ; en d´ eduire leurs lois.
c) La premi` ere loi de Laplace L admet pour fonction g´ en´ eratrice g(u) =
1/(1−u
2 ) (|u| < 1). Cette fonction peut se factoriser de deux mani` eres
diff´ erentes :
α)
1
1 − u 2 =
1
1 − u
1
1 + u
;
β)
1
1 − u 2 =
1
√
1 − u 2
2
.
α) Montrer que L est la loi de la sym´ etris´ ee d’une variable al´ eatoire de
loi E(1).
β) Montrer que L est la loi de X 1 X 2 + X 3 X 4 (ou de
X 1 X 2
X 3 X 4
), o` u
(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) est un syst` eme de quatre variables al´ eatoires ind´ ependantes de la loi N (0, 1) (cf. Exercice 9 du chap. 13).
On est ici en pr´ esence d’un ph´ enom` ene qui ne se produit pas pour une
loi normale : une loi normale n’admet pas de facteurs non d´ eg´ en´ er´ es
autres que normaux. Ceci est un argument suppl´ ementaire qui justifie le
remplacement de la premi` ere loi de Laplace par la seconde loi, `
a savoir
la loi normale, dans la th´ eorie des erreurs.
10. a) Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, ` a valeurs
positives, o` u Y suit la loi exponentielle E(λ) (λ > 0). D´ esignons par L(u)
la transform´ ee de Laplace de X, c’est-` a-dire L(u) = E[e
−uX ] (u ≥ 0).
Montrer que P{Y > X} = L(λ).
b) Soit (X 1 , . . . , X n , Y ) un syst` eme de (n +1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a valeurs positives, o` u Y suit la loi exponentielle E(λ) (λ > 0).
Montrer que
P{Y > X 1 + · · · + X n } = P{Y > X 1 } . . . P{Y > X n }.
Cas particulier. — Pour n = 2 on a
(1)
P{Y > X 1 + X 2 } = P{Y > X 1 }P{Y > X 2 }.
Or P{Y > X} = L(λ) > 0 ; la relation (1) est donc ´ equivalente `
a la
suivante
(2)
P{Y > X 1 + X 2 | Y > X 2 } = P{Y > X 1 }.
Si (X 1 , X 2 , Y ) est un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a
valeurs positives, o` u Y suit une loi exponentielle, on a alors la propri´ et´ e
d’absence de m´ emoire sous la forme g´ en´ eralis´ ee (2).