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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
de param` etre λ > 0. Sa fonction de survie est donn´ ee par r(x) = e
−λx
α si
x ≥ 0 et 1 si x < 0 ; sa densit´ e par f (x) = αλe
−λx
α x
α−1 si x ≥ 0 et 0 si
x < 0 ; enfin, son esp´ erance math´ ematique par E[X] = (1/λ
1/α )Γ(1 + (1/α)).
4. La loi logistique standard. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans R
est dite logistique standard, si elle est de la forme X = − Log(e
Y
− 1), o` u Y
est une variable al´ eatoire exponentielle, de param` etre 1. Pour tout x r´ eel,
sa fonction de r´ epartition est donn´ ee par F (x) = 1/(1 + e
−x ), sa fonction
de survie par r(x) = e
−x /(1 + e
−x ) et sa densit´ e par f (x) = F (x)r(x) =
(1/2)/(1 + ch x). On voit que f (x) est paire, on montre que Log f (x) est
concave.
5. — Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes
toutes uniform´ ement distribu´ ees sur [0, 1]. Alors les variables al´ eatoires
Y = min(X 1 , . . . , X n ) et Z = max(X 1 , . . . , X n ) suivent respectivement les
lois B(1, n) et B(n, 1).
6. La moyenne g´ eom´ etrique. — Soit X une variable al´ eatoire telle que
E[ |X|
r ] < +∞ pour tout r appartenant `
a [0, r 0 [ (r 0 > 0). Consid´ erons, pour
tout r appartenant `
a l’intervalle ouvert ]0, r 0 [, l’´ ecart e r = (E[ |X|
r ])
1/r .
D’apr` es les in´ egalit´ es sur les moyennes, la fonction r → e r est croissante ; il
en r´ esulte que la limite lim r↓0 e r existe et est finie ; nous la d´ esignerons par
e 0 et l’appellerons la moyenne g´ eom´ etrique de X.
a) Soit X une variable al´ eatoire de loi N (0, 1) ; calculer sa moyenne
g´ eom´ etrique.
b) Soit X une variable al´ eatoire de loi E(λ) ; calculer sa moyenne
g´ eom´ etrique.
c) Soit X une variable al´ eatoire de loi de Cauchy C(0, 1) ; montrer qu’elle
admet une moyenne g´ eom´ etrique.
d) Construire la loi d’une variable al´ eatoire qui n’admet pas de moyenne
g´ eom´ etrique.
7. — Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans [0, +∞[, absolument
continue de densit´ e f ; supposons que sa fonction de survie r(x)=P{X>x}
soit strictement positive pour tout x > 0. On appelle taux de d´ efaillance de
X la fonction ρ(x) = f (x)/r(x). Prenons pour X une variable al´ eatoire de
loi Γ(p, λ) (p, λ > 0). Montrer que son taux de d´ efaillance est strictement
croissant, constant ou strictement d´ ecroissant, suivant que p > 1, p = 1 ou
0 < p < 1. On notera que le cas p = 1 correspond `
a la loi E(λ).
8. — Soit X une variable al´ eatoire de loi Γ(p, λ) (p, λ > 0). Montrer que
pour tout r tel que p + r > 0 on a :
E[X
r ] =
1
λ r
Γ(p + r)
Γ(p)
.