COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
191
Les variables al´ eatoires suivantes suivent la loi (A 2 ) :
sin U , o` u U est uniforme dans ]0, π[ ;
cos U , o` u U est uniforme dans ] − π/2, +π/2[.
Ces exemples montrent, s’il en ´ etait besoin, que des variables al´ eatoires
diff´ erentes peuvent avoir mˆ eme loi.
Soit U une variable al´ eatoire uniforme dans ]0, 2π[ ; alors X = cos U ,
Y = sin U suivent toutes deux la loi (A 1 ). En outre, X
2
− Y
2 = cos
2 U −
sin
2 U = cos(2U ) et 2XY = 2 sin U cos U = sin(2U ) suivent ´ egalement la loi
(A 1 ). Comme X
2 + Y
2 = 1, la variable al´ eatoire
Z = X
2
− Y
2 =
X
2
− Y
2
X 2 + Y 2 =
1 −
Y
X
2
1 +
Y
X
2 =
1 − tg
2 U
1 + tg
2 U
suit la loi (A 1 ). Comme U est uniforme sur ]0, 2π[, la variable al´ eatoire
T = tg U suit la loi de Cauchy C(0, 1). On a donc d´ emontr´ e la proposition
suivante.
Proposition 11.1. — Soit T une variable al´ eatoire de loi C(0, 1) ; alors
la variable al´ eatoire Z =
1 − T
2
1 + T 2 suit la loi (A 1 ) de l’Arc sinus.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Les seules solutions r(·), continues `
a droite, non identiquement
nulles, de l’identit´ e [∀ x, y ≥ 0, r(x + y) = r(x)r(y)] sont de la forme
r(x) = e
αx (α ∈ R).
2. La loi de Pareto. — Soit Y une variable al´ eatoire exponentielle de loi
E(λ) (λ > 0). La variable al´ eatoire X = e
Y est appel´ ee variable al´ eatoire de
Pareto, de loi de Pareto P(λ, 1).
a) La fonction de survie de X est donn´ ee par r(x) =
x
−λ
, si x ≥ 1 ;
1,
si x < 1.
et sa densit´ e par f (x) =
λ/x
λ+1 , si x ≥ 1 ;
0,
sinon.
b) On a : E[X] =
λ
λ − 1
, si λ > 1 et E[X] = +∞, si λ ≤ 1.
c) Pour tout entier k ≥ 1 ´ evaluer E[X
k ] en d´ eterminant la fonction de
survie de X
k . En d´ eduire qu’une variable al´ eatoire de Pareto n’admet pas de
fonction g´ en´ eratrice des moments.
3. La loi de Weibull. — Une variable al´ eatoire X est dite de Weibull de
param` etres (α, λ) (α > 0, λ > 0), si la variable X
α suit une loi exponentielle