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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
Occurrences de la loi bˆ eta. — Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables
al´ eatoires ind´ ependantes toutes uniform´ ement distribu´ ees sur [0, 1]. Alors les
variables al´ eatoires
Y = min(X 1 , . . . , X n ),
Z = max(X 1 , . . . , X n )
suivent respectivement les lois B(1, n) et B(n, 1) (cf. exercice 5). Les statistiques d’ordre associ´ ees ` a ce syst` eme suivent ´ egalement des lois bˆ eta.
10. — Soit g(x) = exp
−
1
x
+
1
1 − x
I ]0,1[ (x),
f (x) =
g(x)
R
g(t) dt
.
On v´ erifie que f est la densit´ e de probabilit´ e d’une variable al´ eatoire ` a valeurs
dans ]0, 1[, et qui est C
∞ dans tout R.
11. Les lois de l’Arc sinus
a) La loi B(1/2, 1/2), de densit´ e f (x) =
1
π
1
x(1 − x)
(0 < x < 1) est
appel´ ee loi de l’Arc sinus , en raison du fait que sa fonction de r´ epartition
est donn´ ee par F(x) = (2/π) Arc sin(
√
x) (0 < x < 1). Elle occupe une place
importante dans la th´ eorie des fluctuations.
b) On rencontre d’autres lois, ´ egalement li´ ees ` a l’Arc sinus, qui font
l’objet de la d´ efinition suivante :
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X, `
a valeurs dans ] − 1, +1[, est dite
suivre la loi (A 1 ) de l’Arc sinus si elle est absolument continue et admet pour
densit´ e :
f X (x) =
1
π
1
√
1 − x 2
(−1 < x < +1).
(A 1 )
La variable al´ eatoire |X|, `
a valeurs dans ]0, 1[, suit la loi de densit´ e :
f |X| (x) =
2
π
1
√
1 − x 2
(0 < x < +1).
(A 2 )
On l’appelle la loi (A 2 ) de l’Arc sinus.
Occurrences des lois (A 1 ), (A 2 ). — Les variables al´ eatoires suivantes
suivent la loi (A 1 ) :
sin U , o` u U est uniforme dans ] − π/2, +π/2[ ;
cos U , o` u U est uniforme dans ]0, π[ ;
sin U , cos U o` u U est uniforme dans ]0, 2π[.
En outre, la loi (A 1 ) ´ etant sym´ etrique, chacune de ces variables al´ eatoires a
mˆ eme loi que son oppos´ ee.