9. LA LOI B ˆ
ETA
189
L’int´ egrale au dernier membre est convergente si et seulement si 1 − 2u > 0.
Pla¸ cons-nous dans ce cas et faisons le changement de variable y
√
1 − 2u = t.
Il vient :
g(u) =
1
√
1 − 2u
2
√
2π
∞
0
e
−t
2 /2 dt =
1
√
1 − 2u
(u ∈] − ∞, 1/2[).
Or ceci est la fonction g´ en´ eratrice des moments de la loi Γ(1/2, 1/2).
4) Soit (Y 1 , . . . , Y n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes
admettant toutes la loi N (0, 1). Alors X = Y
2
1 + · · · + Y
2
n a pour loi
Γ(n/2, 1/2). Cette loi est appel´ ee la loi du chi-deux `
a n degr´ es de libert´ e et
est not´ ee χ
2
n . Pour n = 2 c’est la loi Γ(1, 1/2), qui co¨ ıncide avec la loi E(1/2).
On voit que si (X 1 , X 2 ) est un couple de variables al´ eatoires, ind´ ependantes,
de lois respectives χ
2
n 1 , χ
2
n 2 avec n 1 , n 2 entiers strictement positifs, alors la
somme X 1 + X 2 suit la loi χ
2
n 1 +n 2 (loi d’addition du chi-deux).
Occurrences de la loi gamma. — Nous avons vu que l’on a de bonnes
raisons de supposer que la dur´ ee de vie d’un organisme (d’un appareil,
d’un atome radioactif, . . . ) suit une loi exponentielle ; l’inconv´ enient, en
faisant cette hypoth` ese, est que l’on suppose, de fa¸ con implicite, l’absence
de vieillissement de cet organisme (de cet appareil, de cet atome radioactif,
. . . ). Une hypoth` ese plus r´ ealiste consiste ` a supposer que la dur´ ee de vie
suit une loi gamma Γ(p, λ), avec p l´ eg` erement plus grand que 1 et λ > 0 (cf.
Exercice 7).
9. La loi bˆ eta. — La fonction bˆ eta (premi` ere fonction d’Euler) B(r, s)
est d´ efinie pour tout couple (r, s) de r´ eels strictement positifs par :
B(r, s) =
1
0
x
r−1 (1 − x)
s−1 dx.
Elle est reli´ ee ` a la fonction gamma par la relation :
B(r, s) =
Γ(r)Γ(s)
Γ(r + s)
.
Il en r´ esulte que B(r, s) = B(s, r).
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire ` a valeurs dans [0, 1] est dite suivre la
loi B(r, s) (bˆ eta de param` etres r > 0, s > 0) si elle est absolument continue
et admet pour densit´ e :
f (x) =
1
B(r, s)
x
r−1 (1 − x)
s−1 I [0,1] (x).
On voit que pour r = s = 1 la loi B(1, 1) co¨ ıncide avec la loi uniform´ ement
r´ epartie sur [0, 1].
L’esp´ erance math´ ematique et la variance sont donn´ ees par :
E[X] =
r
r + s
,
Var X =
rs
(r + s) 2 (r + s + 1)
.
On constate que Var X < E[X][1 − E[X] ].
ETA
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L’int´ egrale au dernier membre est convergente si et seulement si 1 − 2u > 0.
Pla¸ cons-nous dans ce cas et faisons le changement de variable y
√
1 − 2u = t.
Il vient :
g(u) =
1
√
1 − 2u
2
√
2π
∞
0
e
−t
2 /2 dt =
1
√
1 − 2u
(u ∈] − ∞, 1/2[).
Or ceci est la fonction g´ en´ eratrice des moments de la loi Γ(1/2, 1/2).
4) Soit (Y 1 , . . . , Y n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes
admettant toutes la loi N (0, 1). Alors X = Y
2
1 + · · · + Y
2
n a pour loi
Γ(n/2, 1/2). Cette loi est appel´ ee la loi du chi-deux `
a n degr´ es de libert´ e et
est not´ ee χ
2
n . Pour n = 2 c’est la loi Γ(1, 1/2), qui co¨ ıncide avec la loi E(1/2).
On voit que si (X 1 , X 2 ) est un couple de variables al´ eatoires, ind´ ependantes,
de lois respectives χ
2
n 1 , χ
2
n 2 avec n 1 , n 2 entiers strictement positifs, alors la
somme X 1 + X 2 suit la loi χ
2
n 1 +n 2 (loi d’addition du chi-deux).
Occurrences de la loi gamma. — Nous avons vu que l’on a de bonnes
raisons de supposer que la dur´ ee de vie d’un organisme (d’un appareil,
d’un atome radioactif, . . . ) suit une loi exponentielle ; l’inconv´ enient, en
faisant cette hypoth` ese, est que l’on suppose, de fa¸ con implicite, l’absence
de vieillissement de cet organisme (de cet appareil, de cet atome radioactif,
. . . ). Une hypoth` ese plus r´ ealiste consiste ` a supposer que la dur´ ee de vie
suit une loi gamma Γ(p, λ), avec p l´ eg` erement plus grand que 1 et λ > 0 (cf.
Exercice 7).
9. La loi bˆ eta. — La fonction bˆ eta (premi` ere fonction d’Euler) B(r, s)
est d´ efinie pour tout couple (r, s) de r´ eels strictement positifs par :
B(r, s) =
1
0
x
r−1 (1 − x)
s−1 dx.
Elle est reli´ ee ` a la fonction gamma par la relation :
B(r, s) =
Γ(r)Γ(s)
Γ(r + s)
.
Il en r´ esulte que B(r, s) = B(s, r).
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire ` a valeurs dans [0, 1] est dite suivre la
loi B(r, s) (bˆ eta de param` etres r > 0, s > 0) si elle est absolument continue
et admet pour densit´ e :
f (x) =
1
B(r, s)
x
r−1 (1 − x)
s−1 I [0,1] (x).
On voit que pour r = s = 1 la loi B(1, 1) co¨ ıncide avec la loi uniform´ ement
r´ epartie sur [0, 1].
L’esp´ erance math´ ematique et la variance sont donn´ ees par :
E[X] =
r
r + s
,
Var X =
rs
(r + s) 2 (r + s + 1)
.
On constate que Var X < E[X][1 − E[X] ].