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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
et a les propri´ et´ es ´ el´ ementaires : Γ(p + 1) = p Γ(p) (p > 0) ; Γ(n) = (n − 1)!
(n entier ≥ 1) ; Γ(1) = 1 ; Γ(1/2) =
√
π.
La fonction gamma permet d’introduire une classe de lois de probabilit´ e
d´ ependant de deux param` etres strictement positifs dont le domaine d’application est extrˆ emement vaste.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans [0, +∞[ est dite
suivre la loi Γ(p, λ) (gamma de param` etres p > 0, λ > 0) si elle est absolument
continue et admet pour densit´ e :
f (x) =
λ
Γ(p)
e
−λx (λx)
p−1 , si x ≥ 0 ;
0,
sinon.
On voit que pour p = 1 la loi Γ(1, λ) co¨ ıncide avec la loi E(λ).
Les propri´ et´ es de la loi gamma sont les suivantes :
a) E[X] =
p
λ
, Var X =
p
λ 2 .
b) g(u) = E[e
uX ] =
λ
λ − u
p
(u ∈] − ∞, λ[ ).
D´ emonstration. — L’int´ egrale dans l’´ equation
g(u) =
λ
Γ(p)
∞
0
e
−x(λ−u) (λx)
p−1 dx
est convergente si et seulement si λ − u > 0. Pla¸ cons-nous dans ce cas et
faisons le changement de variable x(λ − u) = t. On obtient :
g(u) =
λ
Γ(p)
∞
0
e
−t
λt
λ − u
p−1 dt
λ − u
=
λ
λ − u
p 1
Γ(p)
∞
0
e
−t t
p−1 dt
=
λ
λ − u
p
.
c) Il r´ esulte de la forme de la fonction g´ en´ eratrice des moments que si
(X 1 , X 2 ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois respectives Γ(p 1 , λ), Γ(p 2 , λ) (p 1 , p 2 , λ > 0, avec le mˆ eme λ), alors la somme
X 1 + X 2 a pour loi Γ(p 1 + p 2 , λ).
Passons en revue certaines lois obtenues en faisant varier les param` etres
p, λ dans la loi gamma.
1) La loi Γ(1, λ) (λ > 0) co¨ ıncide avec la loi E(λ).
2) La loi Γ(n, λ) (n entier > 0, λ > 0) co¨ ıncide avec la loi de la somme
de n variables al´ eatoires ind´ ependantes admettant toutes la loi E(λ).
3) Soit Y une variable al´ eatoire de loi N (0, 1). Alors X = Y
2 a pour loi
Γ(1/2, 1/2).
D´ emonstration. — La fonction g´ en´ eratrice des moments de X est ´ egale ` a :
g(u) = E[e
uX ] =
1
√
2π
+∞
−∞
e
uy
2 −y
2 /2 dy =
2
√
2π
∞
0
e
−(y
2 /2)(1−2u) dy.