7. LA LOI DE CAUCHY
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ne prend une valeur finie pour aucun nombre r´ eel u = 0. Il convient ici
d’introduire la fonction caract´ eristique qui est donn´ ee par ϕ(t) = e
−|t|
(t ∈ R). On constate qu’elle n’est pas d´ erivable pour t = 0, ce qui r´ ev` ele
le caract` ere pathologique de la loi C(0, 1).
d) Consid´ erons une variable al´ eatoire Y de loi C(0, 1) et deux nombres
r´ eels α, β avec β > 0. On dit que la variable al´ eatoire X = α + βY suit la
loi de Cauchy C(α, β). Sa densit´ e est donn´ ee par :
f (x) =
1
πβ
1
1 +
x − α
β
2
(x ∈ R).
Les param` etres α, β admettent les interpr´ etations suivantes : M = α est la
m´ ediane de X ; de plus, Q 1 = α − β ; Q 3 = α + β sont respectivement le
premier et le troisi` eme quartile de X ; Q 3 − Q 1 = 2β est l’´ ecart interquartile
de X.
e) La fonction caract´ eristique de la loi C(α, β) est donn´ ee par :
ϕ(t) = e
itα−β|t|
(t ∈ R).
Il r´ esulte de la forme de cette fonction caract´ eristique que si (X 1 , X 2 ) est
un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois respectives C(α 1 , β 1 ),
C(α 2 , β 2 ) (α 1 , α 2 r´ eels et β 1 > 0, β 2 > 0), alors la somme X = X 1 + X 2 a
pour loi C(α, β), o` u α = α 1 + α 2 , β = β 1 + β 2 .
Cette propri´ et´ e a les cons´ equences surprenantes suivantes : soient X une
variable al´ eatoire de loi C(α, β) et (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables
al´ eatoires ind´ ependantes admettant toutes mˆ eme loi que X. Alors
la somme X 1 + · · · + X n a mˆ eme loi que n X ;
la moyenne arithm´ etique X = (X 1 + · · · + X n )/n a mˆ eme loi que X.
Occurrences de loi de Cauchy
Proposition 7.1. — Soit V une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur ] − π/2, +π/2[. Alors X = tg V suit la loi C(0, 1).
D´ emonstration. — Pour tout x r´ eel on a :
P{X ≤ x} = P{V ≤ Arctg x} =
1
π
π
2
+ Arctg x
=
1
2
+
1
π
Arctg x ;
d’o` u, en d´ erivant, f (x) =
1
π
1
1 + x 2 .
Remarque. — On v´ erifie sans peine que 1/ tg V a mˆ eme fonction de
r´ epartition que tg V . Il en r´ esulte que si X suit la loi C(0, 1), il en est de
mˆ eme de 1/X.
Remarque. — La loi de X = |Y |, o` u Y suit la loi C(0, 1), est appel´ ee loi
de Lorentz dans les ouvrages de physique.
8. La loi gamma. — Rappelons que la fonction gamma (ou seconde
fonction d’Euler) est d´ efinie pour tout nombre r´ eel p > 0 par
Γ(p) =
∞
0
e
−x x
p−1 dx
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ne prend une valeur finie pour aucun nombre r´ eel u = 0. Il convient ici
d’introduire la fonction caract´ eristique qui est donn´ ee par ϕ(t) = e
−|t|
(t ∈ R). On constate qu’elle n’est pas d´ erivable pour t = 0, ce qui r´ ev` ele
le caract` ere pathologique de la loi C(0, 1).
d) Consid´ erons une variable al´ eatoire Y de loi C(0, 1) et deux nombres
r´ eels α, β avec β > 0. On dit que la variable al´ eatoire X = α + βY suit la
loi de Cauchy C(α, β). Sa densit´ e est donn´ ee par :
f (x) =
1
πβ
1
1 +
x − α
β
2
(x ∈ R).
Les param` etres α, β admettent les interpr´ etations suivantes : M = α est la
m´ ediane de X ; de plus, Q 1 = α − β ; Q 3 = α + β sont respectivement le
premier et le troisi` eme quartile de X ; Q 3 − Q 1 = 2β est l’´ ecart interquartile
de X.
e) La fonction caract´ eristique de la loi C(α, β) est donn´ ee par :
ϕ(t) = e
itα−β|t|
(t ∈ R).
Il r´ esulte de la forme de cette fonction caract´ eristique que si (X 1 , X 2 ) est
un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois respectives C(α 1 , β 1 ),
C(α 2 , β 2 ) (α 1 , α 2 r´ eels et β 1 > 0, β 2 > 0), alors la somme X = X 1 + X 2 a
pour loi C(α, β), o` u α = α 1 + α 2 , β = β 1 + β 2 .
Cette propri´ et´ e a les cons´ equences surprenantes suivantes : soient X une
variable al´ eatoire de loi C(α, β) et (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables
al´ eatoires ind´ ependantes admettant toutes mˆ eme loi que X. Alors
la somme X 1 + · · · + X n a mˆ eme loi que n X ;
la moyenne arithm´ etique X = (X 1 + · · · + X n )/n a mˆ eme loi que X.
Occurrences de loi de Cauchy
Proposition 7.1. — Soit V une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur ] − π/2, +π/2[. Alors X = tg V suit la loi C(0, 1).
D´ emonstration. — Pour tout x r´ eel on a :
P{X ≤ x} = P{V ≤ Arctg x} =
1
π
π
2
+ Arctg x
=
1
2
+
1
π
Arctg x ;
d’o` u, en d´ erivant, f (x) =
1
π
1
1 + x 2 .
Remarque. — On v´ erifie sans peine que 1/ tg V a mˆ eme fonction de
r´ epartition que tg V . Il en r´ esulte que si X suit la loi C(0, 1), il en est de
mˆ eme de 1/X.
Remarque. — La loi de X = |Y |, o` u Y suit la loi C(0, 1), est appel´ ee loi
de Lorentz dans les ouvrages de physique.
8. La loi gamma. — Rappelons que la fonction gamma (ou seconde
fonction d’Euler) est d´ efinie pour tout nombre r´ eel p > 0 par
Γ(p) =
∞
0
e
−x x
p−1 dx