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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
Occurrences de la premi` ere loi de Laplace. — Cette loi, qui a ´ et´ e propos´ ee
en premier lieu par Laplace
2 pour rendre compte des erreurs d’exp´ erience, a
´ et´ e supplant´ ee par la loi normale, appel´ ee aussi seconde loi de Laplace. Il est
int´ eressant, dans cette perspective, de comparer les densit´ es de ces deux lois.
Proposition 6.1. — Posons :
f (x) =
1
√
2π
e
−x
2 /2 ,
g(x) =
1
2
e
−|x|
(x ∈ R).
On a alors pour tout r´ eel x
f (x) ≤ c g(x),
avec c =
2e
π
.
D´ emonstration. — En effet,
1
2
(|x| − 1)
2 =
x
2
2
+
1
2
− |x| , d’o` u −
x
2
2
≤
1
2
− |x| ;
et par cons´ equent
f (x) =
1
√
2π
e
−x
2 /2
≤
1
√
2π
e
((1/2)−|x|) =
2e
π
1
2
e
−|x| = c g(x).
7. La loi de Cauchy
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire ` a valeurs r´ eelles est dite suivre la loi
de Cauchy C(0, 1) si elle est absolument continue et admet pour densit´ e
f (x) =
1
π
1
1 + x 2
(x ∈ R).
Voici quelques propri´ et´ es de la loi de Cauchy.
a) Le graphe de f ressemble ` a celui de la densit´ e de la loi normale, mais
approche l’axe des x si lentement que l’esp´ erance math´ ematique de X n’existe
pas.
b) Interpr´ etation de la notation C(0, 1). — Les nombres 0 et 1 ne sont
plus, ici, l’esp´ erance math´ ematique et l’´ ecart-type (qui n’existent pas), mais
admettent l’interpr´ etation suivante :
M = 0 est la m´ ediane de X ; en effet, P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 1/2 ;
Q 1 = −1, Q 3 = +1 sont respectivement le premier et le troisi` eme quartile
de X ; en effet, P{X ≤ −1} = P{X ≥ +1} = 1/4. On prend l’´ ecart
interquartile Q 3 − Q 1 = 2 comme mesure de la dispersion.
c) La variable X n’admet pas de fonction g´ en´ eratrice des moments ; en
effet, l’expression
g(u) =
1
π
R
e
ux
1 + x 2 dx
2 Laplace (Pierre-Simon, marquis de). — Th´ eorie analytique des Probabilit´ es. — Paris,
.
CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
Occurrences de la premi` ere loi de Laplace. — Cette loi, qui a ´ et´ e propos´ ee
en premier lieu par Laplace
2 pour rendre compte des erreurs d’exp´ erience, a
´ et´ e supplant´ ee par la loi normale, appel´ ee aussi seconde loi de Laplace. Il est
int´ eressant, dans cette perspective, de comparer les densit´ es de ces deux lois.
Proposition 6.1. — Posons :
f (x) =
1
√
2π
e
−x
2 /2 ,
g(x) =
1
2
e
−|x|
(x ∈ R).
On a alors pour tout r´ eel x
f (x) ≤ c g(x),
avec c =
2e
π
.
D´ emonstration. — En effet,
1
2
(|x| − 1)
2 =
x
2
2
+
1
2
− |x| , d’o` u −
x
2
2
≤
1
2
− |x| ;
et par cons´ equent
f (x) =
1
√
2π
e
−x
2 /2
≤
1
√
2π
e
((1/2)−|x|) =
2e
π
1
2
e
−|x| = c g(x).
7. La loi de Cauchy
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire ` a valeurs r´ eelles est dite suivre la loi
de Cauchy C(0, 1) si elle est absolument continue et admet pour densit´ e
f (x) =
1
π
1
1 + x 2
(x ∈ R).
Voici quelques propri´ et´ es de la loi de Cauchy.
a) Le graphe de f ressemble ` a celui de la densit´ e de la loi normale, mais
approche l’axe des x si lentement que l’esp´ erance math´ ematique de X n’existe
pas.
b) Interpr´ etation de la notation C(0, 1). — Les nombres 0 et 1 ne sont
plus, ici, l’esp´ erance math´ ematique et l’´ ecart-type (qui n’existent pas), mais
admettent l’interpr´ etation suivante :
M = 0 est la m´ ediane de X ; en effet, P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 1/2 ;
Q 1 = −1, Q 3 = +1 sont respectivement le premier et le troisi` eme quartile
de X ; en effet, P{X ≤ −1} = P{X ≥ +1} = 1/4. On prend l’´ ecart
interquartile Q 3 − Q 1 = 2 comme mesure de la dispersion.
c) La variable X n’admet pas de fonction g´ en´ eratrice des moments ; en
effet, l’expression
g(u) =
1
π
R
e
ux
1 + x 2 dx
2 Laplace (Pierre-Simon, marquis de). — Th´ eorie analytique des Probabilit´ es. — Paris,
.