6. LA PREMI `
ERE LOI DE LAPLACE
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route ; la quantit´ e r(x) = P{X > x} (x > 0) peut alors ˆ etre interpr´ et´ ee
comme la probabilit´ e pour que cet appareil ait encore ´ et´ e en fonctionnement
` a l’instant x (fonction de survie) ou comme la probabilit´ e pour qu’on ait pu
s’y fier jusqu’` a cet instant (fonction de fiabilit´ e). Il faut toutefois garder `
a
l’esprit que si l’on suppose que X suit une loi exponentielle, on suppose de
fa¸ con ´ equivalente que X a la propri´ et´ e de non-vieillissement (ou d’absence
de m´ emoire). Une loi qui d´ ecrit la r´ ealit´ e d’une fa¸ con un peu plus fid` ele est
la loi gamma de param` etres (p, λ) avec p > 1 et λ > 0 (cf. Exercice 7).
2) Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont
chacune suit la loi N (0, 1). Alors la variable al´ eatoire Y = X
2
1 + X
2
2 (le
chi-deux ` a deux degr´ es de libert´ e) suit la loi E(1/2).
6. La premi` ere loi de Laplace
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs r´ eelles est dite suivre
la premi` ere loi de Laplace, si elle est absolument continue et admet pour
densit´ e :
f (x) =
1
2
e
−|x|
(x ∈ R).
Les propri´ et´ es de la premi` ere loi de Laplace sont les suivantes.
a) On a : g(u) = E[e
uX ] =
1
1 − u 2
(−1 < u < +1).
D´ emonstration. — En effet, pour −1 < u < +1, on a :
g(u) =
1
2
R
e
ux−|x| dx =
1
2
∞
0
e
−(1−u)x dx +
0
−∞
e
(1+u)x dx
=
1
2
∞
0
e
−(1−u)x dx +
∞
0
e
−(1+u)x dx
=
1
2
1
1 − u
+
1
1 + u
=
1
1 − u 2 .
b) La variable al´ eatoire X admet des moments de tous les ordres entiers
positifs ; le moment d’ordre n ≥ 0 apparaˆ ıt comme coefficient de (u
n /n!) dans
le d´ eveloppement de g autour de 0. De
g(u) =
1
1 − u 2 =
n≥0
(2n)!
u
2n
(2n)!
(−1 < u < +1),
on d´ eduit
E[X
2n ] = (2n)! ,
E[X
2n+1 ] = 0 ;
(n ≥ 0).
c) Comme g(u) =
1
1 − u 2 =
1
1 − u
1
1 + u
(−1 < u < +1) et puisque
1/(1 − u) est la fonction g´ en´ eratrice des moments d’une variable al´ eatoire Y
de loi E(1), on voit que la sym´ etris´ ee de Y suit la premi` ere loi de Laplace.