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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
Remarque. — Il r´ esulte de g) que si U suit une loi uniforme sur ]0, 1[,
alors X = −(1/λ) Log U , pour λ > 0, suit la loi E(λ). Cette propri´ et´ e est
utilis´ ee pour simuler la loi E(λ).
h) La propri´ et´ e d’absence de m´ emoire.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X, `
a valeurs positives, v´ erifiant pour
tout x ≥ 0 la propri´ et´ e
r(x) = P{X > x} > 0,
est dite sans m´ emoire, si elle v´ erifie pour tous x, y ≥ 0 l’identit´ e
(5.1)
P{X > x + y | X > y} = P{X > x}.
Interpr´ etons X comme la dur´ ee de vie d’un individu A. Cette propri´ et´ e
exprime que A ne vieillit pas : si A a v´ ecu au moins y unit´ es de temps, alors
il vivra encore x unit´ es de temps suppl´ ementaires avec la mˆ eme probabilit´ e qu’un individu analogue `
a A qui viendrait de naˆ ıtre. La propri´ et´ e (5.1)
est donc une propri´ et´ e de non-vieillissement ou d’absence de m´ emoire (l’individu A ne se souvient pas d’avoir vieilli). Il est remarquable qu’elle soit
´ equivalente au fait que X suive une loi exponentielle.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit X une variable al´ eatoire absolument continue,
` a valeurs positives, v´ erifiant, pour tout x ≥ 0, la propri´ et´ e :
r(x) = P{X > x} > 0.
Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
(a) X suit une loi exponentielle.
(b) X est sans m´ emoire .
D´ emonstration. — Remarquons que la propri´ et´ e (b) est ´ equivalente `
a la
propri´ et´ e
(b
)
∀ x, y ≥ 0
r(x + y) = r(x)r(y).
Il suffit donc de d´ emontrer que (a) ⇔ (b
).
(a) ⇒ (b
). Supposons que X suive la loi E(λ) (λ > 0) ; alors, pour tout
x > 0, on a r(x) = e
−λx , qui v´ erifie (b
).
(b
) ⇒ (a). L’´ equation (b
) est l’´ equation fonctionnelle de l’exponentielle ;
la fonction r(x) ´ etant continue ` a droite, sa solution est de la forme r(x) = e
αx
(α ∈ R, x > 0) (cf. exercice 1). Or r(x) doit ˆ etre d´ ecroissante, d’o` u α = −λ
(λ ≥ 0). Comme le cas λ = 0 ne correspond pas `
a une vraie variable al´ eatoire,
on a λ > 0.
Occurrences de la loi exponentielle
1) On a de bonnes raisons de supposer que la dur´ ee de vie X d’un
appareil (d’un organisme, d’une ampoule, d’un atome radioactif, . . . ) suit une
loi exponentielle. Prenons pour origine l’instant o` u cet appareil est mis en
CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
Remarque. — Il r´ esulte de g) que si U suit une loi uniforme sur ]0, 1[,
alors X = −(1/λ) Log U , pour λ > 0, suit la loi E(λ). Cette propri´ et´ e est
utilis´ ee pour simuler la loi E(λ).
h) La propri´ et´ e d’absence de m´ emoire.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X, `
a valeurs positives, v´ erifiant pour
tout x ≥ 0 la propri´ et´ e
r(x) = P{X > x} > 0,
est dite sans m´ emoire, si elle v´ erifie pour tous x, y ≥ 0 l’identit´ e
(5.1)
P{X > x + y | X > y} = P{X > x}.
Interpr´ etons X comme la dur´ ee de vie d’un individu A. Cette propri´ et´ e
exprime que A ne vieillit pas : si A a v´ ecu au moins y unit´ es de temps, alors
il vivra encore x unit´ es de temps suppl´ ementaires avec la mˆ eme probabilit´ e qu’un individu analogue `
a A qui viendrait de naˆ ıtre. La propri´ et´ e (5.1)
est donc une propri´ et´ e de non-vieillissement ou d’absence de m´ emoire (l’individu A ne se souvient pas d’avoir vieilli). Il est remarquable qu’elle soit
´ equivalente au fait que X suive une loi exponentielle.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit X une variable al´ eatoire absolument continue,
` a valeurs positives, v´ erifiant, pour tout x ≥ 0, la propri´ et´ e :
r(x) = P{X > x} > 0.
Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
(a) X suit une loi exponentielle.
(b) X est sans m´ emoire .
D´ emonstration. — Remarquons que la propri´ et´ e (b) est ´ equivalente `
a la
propri´ et´ e
(b
)
∀ x, y ≥ 0
r(x + y) = r(x)r(y).
Il suffit donc de d´ emontrer que (a) ⇔ (b
).
(a) ⇒ (b
). Supposons que X suive la loi E(λ) (λ > 0) ; alors, pour tout
x > 0, on a r(x) = e
−λx , qui v´ erifie (b
).
(b
) ⇒ (a). L’´ equation (b
) est l’´ equation fonctionnelle de l’exponentielle ;
la fonction r(x) ´ etant continue ` a droite, sa solution est de la forme r(x) = e
αx
(α ∈ R, x > 0) (cf. exercice 1). Or r(x) doit ˆ etre d´ ecroissante, d’o` u α = −λ
(λ ≥ 0). Comme le cas λ = 0 ne correspond pas `
a une vraie variable al´ eatoire,
on a λ > 0.
Occurrences de la loi exponentielle
1) On a de bonnes raisons de supposer que la dur´ ee de vie X d’un
appareil (d’un organisme, d’une ampoule, d’un atome radioactif, . . . ) suit une
loi exponentielle. Prenons pour origine l’instant o` u cet appareil est mis en