5. LA LOI EXPONENTIELLE
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D´ emonstration. — On a :
g(u) = λ
∞
0
e
−x(λ−u) dx.
L’int´ egrale au second membre est convergente si et seulement si λ − u > 0.
Pla¸ cons-nous dans ce cas et faisons le changement de variable x(λ − u) = t.
Il vient :
g(u) = λ
∞
0
e
−t
1
λ − u
dt =
λ
λ − u
.
d) La fonction g(u) = 1/(1−(u/λ)) est d´ efinie dans l’intervalle ]−∞, λ[,
(λ > 0), qui est un voisinage ouvert de l’origine ; c’est donc la fonction
g´ en´ eratrice des moments de X ; elle est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere pour tout
u appartenant `
a l’intervalle ] − λ, +λ[. La variable X admet des moments de
tous les ordres et le moment d’ordre n (n ≥ 0) apparaˆ ıt comme le coefficient
de u
n /n! dans le d´ eveloppement de g autour de 0. Or
g(u) =
1
1 −
u
λ
=
n≥0
u
λ
n
=
n≥0
n!
λ n
u
n
n!
(u ∈] − λ, +λ[) ;
d’o` u les valeurs des moments :
E[X
n ] =
n!
λ n
(n ≥ 0).
e) Pour tout r > −1 on a : E[X
r ] =
Γ(r + 1)
λ r .
D´ emonstration. — On a :
E[X
r ] = λ
∞
0
x
r e
−λx dx,
d’o` u, en faisant le changement de variable λx = u
E[X
r ] =
1
λ r
∞
0
u
r e
−u du =
Γ(r + 1)
λ r .
Cette quantit´ e est finie si et seulement si r + 1 > 0.
f) Si X suit la loi E(λ), alors la partie enti` ere Y = [X] suit la loi
P{Y = n} = pq
n (n ≥ 0), o` u q = e
−λ , p = 1 − q ; c’est une loi g´ eom´ etrique ;
la loi g´ eom´ etrique
n≥0
pq
n ε n est la version discr` ete de la loi exponentielle.
D´ emonstration. — Supposons que X suive la loi E(λ) (λ > 0). En posant
q = e
−λ , on a, pour tout entier n ≥ 0 :
P{[X] > n} = P{X ≥ n + 1} = e
−λ(n+1) =
e
−λ
n+1
= q
n+1 .
g) Si X suit la loi E(λ), alors U = e
−λX suit la loi uniforme sur ]0, 1[.
D´ emonstration. — Prenons u dans l’intervalle ]0, 1[. Alors
P{U ≤ u} = P{−λX ≤ Log u} = P
X > −
Log u
λ
= exp
−λ
−
Log u
λ
= exp Log u = u.