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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
c) Posons X = e
σY +µ o` u L(Y ) = N (0, 1). D’apr` es le th´ eor` eme de
transfert, on obtient
E[X] =
1
√
2π
R
e
σx+µ e
−x
2 /2 dx =
1
√
2π
R
e
−(x−σ)
2 /2+σ
2 /2+µ dx
= e
µ+σ
2 /2 1
√
2π
R
e
−(x−σ)
2 /2 dx,
d’o` u en faisant le changement de variable x − σ = t,
E[X] = e
µ+σ
2 /2 1
√
2π
R
e
−t
2 /2 dt = e
µ+σ
2 /2 .
On obtient l’expression de la variance par un calcul analogue.
d) En effet Log X
r = r Log X. Or Log X suit la loi N (µ, σ) ; donc
r Log X suit la loi N (rµ, rσ).
e) ´
Evident.
Occurrence de la loi Log-normale. — La loi Log-normale a trouv´ e un
domaine d’application inattendu : la linguistique. En effet, le nombre de
mots par phrase (c’est-` a-dire la longueur de la phrase mesur´ ee en nombre de
mots) suit approximativement une loi Log-normale.
1
5. La loi exponentielle
D´ efinition. — Soit λ un nombre strictement positif ; une variable al´ eatoire
X ` a valeurs dans ]0, +∞[ est dite exponentielle de param` etre λ si elle est
absolument continue et admet pour densit´ e
f (x) = λe
−λx I ]0,+∞[ (x).
La loi de densit´ e f est appel´ ee loi exponentielle de param` etre λ (λ > 0) et
est not´ ee E(λ).
Voici quelques propri´ et´ es de la loi exponentielle.
a) La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par :
F(x) =
1 − e
−λx , si x > 0 ;
0,
sinon.
Il est pr´ ef´ erable de travailler avec la fonction de survie (ou fonction de
fiabilit´ e) d´ efinie par r(x) = 1 − F(x) = P{X > x} et qui est donn´ ee par :
r(x) =
e
−λx , si x > 0 ;
1,
sinon.
b) On a : E[X] = 1/λ, VarX = 1/λ
2 , L(λX) = E(1).
c) La fonction g´ en´ eratrice des moments est donn´ ee par :
g(u) = E[e
uX ] =
λ
λ − u
=
1
1 −
u
λ
(u ∈] − ∞, λ[).
1 Williams (C.B.). — Studies in the history of probability and statistics : a note on a
early statistical study of literary style, Biometrika, t. 43, , p. 248–356.