4. LA LOI LOG-NORMALE
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Une des explications de ce ph´ enom` ene est fournie par le th´ eor` eme central
limit , dont il sera question au chapitre 18. Il y a pourtant des cas o` u la
loi normale est contre-indiqu´ ee pour d´ ecrire un ph´ enom` ene. En effet, on
v´ erifie ais´ ement que si X est une variable al´ eatoire normale, alors Y = 1/X
n’admet pas d’esp´ erance math´ ematique (i.e. E[1/ |X| ] = +∞). Consid´ erons,
par exemple, la loi d’Ohm I = V /R et supposons que la tension V soit
non al´ eatoire et connue, mais que la r´ esistance R suive une loi normale, ce
qui, `
a premi` ere vue, semble raisonnable. Or ceci aurait pour cons´ equence
que l’intensit´ e du courant I serait une variable al´ eatoire dont l’esp´ erance
math´ ematique n’existe pas, ce qui est difficilement acceptable pour l’ing´ enieur.
L’hypoth` ese que R suive une loi normale est donc irr´ ealiste.
4. La loi Log-normale
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans ]0, +∞[ est dite
suivre la loi Log-normale de param` etres (µ, σ) (µ r´ eel, σ > 0) si Y = Log X
suit la loi N (µ, σ).
Propri´ et´ es
a) La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par :
F(x) =
Φ
Log x − µ
σ
, si x > 0 ;
0,
sinon.
b) La densit´ e de X est donn´ ee par :
f (x) =
1
σ
√
2π
1
x
exp
−
1
2
Log x − µ
σ
2
I ]0,+∞[ (x).
c) On a : E[X] = e
µ+σ
2 /2 ,
Var X = e
2µ+σ
2 (e
σ
2 − 1).
d) Si X suit la loi Log-normale de param` etres (µ, σ), alors X
r (r > 0)
suit la loi Log-normale de param` etres (rµ, rσ).
Remarque. — Il r´ esulte de c) et de d) que pout tout r > 0 le moment
E[X
r ] est fini et que E[X
r ] = e
rµ+(r
2 σ
2 )/2 .
e) La fonction g(u) = E[e
uX ] n’est pas d´ efinie pour u > 0 ; en d’autres
termes, la loi Log-normale n’admet pas de fonction g´ en´ eratrice g(u) qui soit
d´ efinie dans un intervalle ouvert contenant u = 0. N´ eanmoins, X admet des
moments entiers positifs de tous les ordres.
D´ emonstration
a) Pour tout x > 0, on a :
F(x) = P{X ≤ x} = P{Y ≤ Log x}
= P
Y − µ
σ
≤
Log x − µ
σ
= Φ
Log x − µ
σ
.
b) La densit´ e s’obtient en d´ erivant F(x).
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Une des explications de ce ph´ enom` ene est fournie par le th´ eor` eme central
limit , dont il sera question au chapitre 18. Il y a pourtant des cas o` u la
loi normale est contre-indiqu´ ee pour d´ ecrire un ph´ enom` ene. En effet, on
v´ erifie ais´ ement que si X est une variable al´ eatoire normale, alors Y = 1/X
n’admet pas d’esp´ erance math´ ematique (i.e. E[1/ |X| ] = +∞). Consid´ erons,
par exemple, la loi d’Ohm I = V /R et supposons que la tension V soit
non al´ eatoire et connue, mais que la r´ esistance R suive une loi normale, ce
qui, `
a premi` ere vue, semble raisonnable. Or ceci aurait pour cons´ equence
que l’intensit´ e du courant I serait une variable al´ eatoire dont l’esp´ erance
math´ ematique n’existe pas, ce qui est difficilement acceptable pour l’ing´ enieur.
L’hypoth` ese que R suive une loi normale est donc irr´ ealiste.
4. La loi Log-normale
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans ]0, +∞[ est dite
suivre la loi Log-normale de param` etres (µ, σ) (µ r´ eel, σ > 0) si Y = Log X
suit la loi N (µ, σ).
Propri´ et´ es
a) La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par :
F(x) =
Φ
Log x − µ
σ
, si x > 0 ;
0,
sinon.
b) La densit´ e de X est donn´ ee par :
f (x) =
1
σ
√
2π
1
x
exp
−
1
2
Log x − µ
σ
2
I ]0,+∞[ (x).
c) On a : E[X] = e
µ+σ
2 /2 ,
Var X = e
2µ+σ
2 (e
σ
2 − 1).
d) Si X suit la loi Log-normale de param` etres (µ, σ), alors X
r (r > 0)
suit la loi Log-normale de param` etres (rµ, rσ).
Remarque. — Il r´ esulte de c) et de d) que pout tout r > 0 le moment
E[X
r ] est fini et que E[X
r ] = e
rµ+(r
2 σ
2 )/2 .
e) La fonction g(u) = E[e
uX ] n’est pas d´ efinie pour u > 0 ; en d’autres
termes, la loi Log-normale n’admet pas de fonction g´ en´ eratrice g(u) qui soit
d´ efinie dans un intervalle ouvert contenant u = 0. N´ eanmoins, X admet des
moments entiers positifs de tous les ordres.
D´ emonstration
a) Pour tout x > 0, on a :
F(x) = P{X ≤ x} = P{Y ≤ Log x}
= P
Y − µ
σ
≤
Log x − µ
σ
= Φ
Log x − µ
σ
.
b) La densit´ e s’obtient en d´ erivant F(x).