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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
D´ emonstration. — On a :
E[ |X|
r ] =
1
√
2π
R
|x|
r e
−x
2 /2 dx =
2
√
2π
∞
0
x
r e
−x
2 /2 dx ;
d’o` u, en faisant le changement de variable x
2 /2 = u
E[ |X|
r ] =
2
r/2
√
π
∞
0
u
(r−1)/2 e
−u du =
2
r/2
√
π
Γ
r + 1
2
.
3.2. La loi normale g´ en´ erale
D´ efinition. — Consid´ erons une variable al´ eatoire Y de la loi N (0, 1) et
deux nombres r´ eels µ et σ > 0. La variable al´ eatoire X = µ + σY est appel´ ee
normale de loi N (µ, σ) (ou N 1 (µ, σ
2 ) dans les notations du chap. 12, § 5).
On voit que la loi de X d´ epend de deux param` etres µ et σ dont l’interpr´ etation est ais´ ee. En effet, E[X] = µ et Var X = σ
2 Var Y = σ
2 . De l` a σ(X) = σ.
Les propri´ et´ es de la loi normale g´ en´ erale sont d´ ecrites ci-apr` es :
a) La densit´ e de X est donn´ ee par :
f (x) =
1
σ
√
2π
exp
−
1
2
x − µ
σ
2
(x ∈ R).
Pour dessiner son graphe, on pourra observer que f est sym´ etrique par
rapport `
a x = µ, que f admet un maximum pour x = µ, qui vaut
f (µ) = 1/(σ
√
2π), enfin que f
(x) = 0 si et seulement si x = µ ± σ. Il est
facile d’en conclure que ce graphe a l’allure d’une courbe en cloche sym´ etrique
par rapport `
a x = µ, tr` es pointue pour σ petit, tr` es aplatie pour σ grand.
b) La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par :
F(x) = P{X ≤ x} = P
Y ≤
x − µ
σ
= Φ
x − µ
σ
(x ∈ R).
Son graphe est sym´ etrique par rapport au point (µ, 1/2) et la pente de la
tangente en ce point est 1/(σ
√
2π). Il en r´ esulte que ce graphe a l’allure
d’une courbe en S, tr` es pentue pour σ petit, tr` es ´ etir´ ee pour σ grand.
c) La fonction g´ en´ eratrice des moments est donn´ ee par :
g(u) = E[e
uX ] = exp
µu +
σ
2 u
2
2
(u ∈ R).
d) Il r´ esulte de la forme de la fonction g´ en´ eratrice des moments que
si (X 1 , X 2 ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois
respectives N (µ 1 , σ 1 ), N (µ 2 , σ 2 ), avec µ 1 , µ 2 r´ eels et σ 1 > 0, σ 2 > 0, alors
la somme X = X 1 + X 2 a pour loi N (µ, σ), o` u µ = µ 1 + µ 2 , σ
2 = σ
2
1 + σ
2
2 .
Occurrences de la loi normale. — L’exp´ erience montre qu’un grand
nombre de caract` eres physiques, biom´ etriques, . . . suivent une loi normale.
CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
D´ emonstration. — On a :
E[ |X|
r ] =
1
√
2π
R
|x|
r e
−x
2 /2 dx =
2
√
2π
∞
0
x
r e
−x
2 /2 dx ;
d’o` u, en faisant le changement de variable x
2 /2 = u
E[ |X|
r ] =
2
r/2
√
π
∞
0
u
(r−1)/2 e
−u du =
2
r/2
√
π
Γ
r + 1
2
.
3.2. La loi normale g´ en´ erale
D´ efinition. — Consid´ erons une variable al´ eatoire Y de la loi N (0, 1) et
deux nombres r´ eels µ et σ > 0. La variable al´ eatoire X = µ + σY est appel´ ee
normale de loi N (µ, σ) (ou N 1 (µ, σ
2 ) dans les notations du chap. 12, § 5).
On voit que la loi de X d´ epend de deux param` etres µ et σ dont l’interpr´ etation est ais´ ee. En effet, E[X] = µ et Var X = σ
2 Var Y = σ
2 . De l` a σ(X) = σ.
Les propri´ et´ es de la loi normale g´ en´ erale sont d´ ecrites ci-apr` es :
a) La densit´ e de X est donn´ ee par :
f (x) =
1
σ
√
2π
exp
−
1
2
x − µ
σ
2
(x ∈ R).
Pour dessiner son graphe, on pourra observer que f est sym´ etrique par
rapport `
a x = µ, que f admet un maximum pour x = µ, qui vaut
f (µ) = 1/(σ
√
2π), enfin que f
(x) = 0 si et seulement si x = µ ± σ. Il est
facile d’en conclure que ce graphe a l’allure d’une courbe en cloche sym´ etrique
par rapport `
a x = µ, tr` es pointue pour σ petit, tr` es aplatie pour σ grand.
b) La fonction de r´ epartition de X est donn´ ee par :
F(x) = P{X ≤ x} = P
Y ≤
x − µ
σ
= Φ
x − µ
σ
(x ∈ R).
Son graphe est sym´ etrique par rapport au point (µ, 1/2) et la pente de la
tangente en ce point est 1/(σ
√
2π). Il en r´ esulte que ce graphe a l’allure
d’une courbe en S, tr` es pentue pour σ petit, tr` es ´ etir´ ee pour σ grand.
c) La fonction g´ en´ eratrice des moments est donn´ ee par :
g(u) = E[e
uX ] = exp
µu +
σ
2 u
2
2
(u ∈ R).
d) Il r´ esulte de la forme de la fonction g´ en´ eratrice des moments que
si (X 1 , X 2 ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois
respectives N (µ 1 , σ 1 ), N (µ 2 , σ 2 ), avec µ 1 , µ 2 r´ eels et σ 1 > 0, σ 2 > 0, alors
la somme X = X 1 + X 2 a pour loi N (µ, σ), o` u µ = µ 1 + µ 2 , σ
2 = σ
2
1 + σ
2
2 .
Occurrences de la loi normale. — L’exp´ erience montre qu’un grand
nombre de caract` eres physiques, biom´ etriques, . . . suivent une loi normale.