3. LA LOI NORMALE OU DE LAPLACE-GAUSS
179
1
−1
+ 1
1
√
2π
−1
+ 1
1
2
Fig. 1
D´ emonstration. — En effet,
g(u) =
1
√
2π
R
e
ux e
−x
2 /2 dx.
Or
ux − x
2 /2 = −(x − u)
2 /2 + u
2 /2 ;
d’o` u
g(u) = e
u
2 /2 1
√
2π
R
e
−(x−u)
2 /2 dx ;
en faisant le changement de variables x − u = t, on obtient :
g(u) = e
u
2 /2 1
√
2π
R
e
−t
2 /2 dt = e
u
2 /2 .
e) La fonction g(u) = e
u
2 /2 est d´ efinie pour tout r´ eel u et est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere pour tout r´ eel u. Il en r´ esulte que X admet des moments
de tous les ordres. Le moment d’ordre n (n ≥ 0) apparaˆ ıt comme le coefficient
de u
n /n! dans le d´ eveloppement de g autour de 0. Or
g(u) = e
u
2 /2 =
n≥0
1
n!
u
2
2
n
=
n≥0
1
n!
1
2 n u
2n =
n≥0
(2n)!
n!
1
2 n
u
2n
(2n)!
.
D’o` u les valeurs des moments :
E[X
2n ] =
1
2 n
(2n)!
n!
= 1 × 3 × · · · × (2n − 3) × (2n − 1)
(n ≥ 1) ;
E[X
2n+1 ] = 0
(n ≥ 0).
f) Pour tout r > −1, on a : E[ |X|
r ] =
2
r/2
√
π
Γ
r + 1
2
.