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CHAPITRE 14 : PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
2. La loi uniforme sur [a, b]
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans [a, b] (−∞ < a <
b < +∞) est dite uniform´ ement r´ epartie sur [a, b] si elle est absolument
continue et admet pour densit´ e
f (x) =
1
b − a
I [a,b] (x).
La loi de densit´ e f est appel´ ee loi uniforme sur [a, b].
Les propri´ et´ es suivantes sont ´ egalement faciles ` a ´ etablir :
E[X] =
a + b
2
;
VarX =
(a − b)
2
12
;
g(u) = E[e
uX ] =
1
b − a
e
bu
− e
au
u
(u = 0),
g(0) = 1.
Si a = −1, b = +1, on a : g(u) =
sh u
u
(u = 0),
g(0) = 1.
De fa¸ con g´ en´ erale, si a = −l, b = +l et l > 0, on a :
g(u) =
sh lu
lu
(u = 0),
g(0) = 1.
3. La loi normale ou de Laplace-Gauss
3.1. La loi normale r´ eduite
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans R est dite normale
r´ eduite si elle est absolument continue et admet pour densit´ e
f (x) =
1
√
2π
exp
−
x
2
2
(x ∈ R).
La loi de densit´ e f est appel´ ee normale r´ eduite et est not´ ee N (0, 1).
Donnons une liste de propri´ et´ es de cette loi classique :
a) Le graphe (cf. Fig. 1) de la densit´ e f a l’allure d’une courbe en cloche
assez aplatie. Pour le voir, il suffit de remarquer que f est paire et que f
admet un maximum pour x = 0, qui vaut f (0) = 1/
√
2π ≈ 0, 399. Enfin,
f
(x) = 0 si et seulement si x = ±1 .
b) On d´ esigne par Φ la fonction de r´ epartition de X :
Φ(x) =
1
√
2π
x
−∞
exp
−
t
2
2
dt (x ∈ R).
Son graphe a l’allure d’une courbe en S assez ´ etal´ ee et est sym´ etrique par
rapport au point (0, 1/2) et la pente de la tangente en ce point est 1/
√
2π.
c) On a : E[X] = 0 et Var X = 1. C’est la raison pour laquelle la loi est
appel´ ee (centr´ ee) r´ eduite et not´ ee N (0, 1).
d) On a : g(u) = E[e
uX ] = e
u
2 /2
(u ∈ R).