CHAPITRE 14
LES PRINCIPALES LOIS DE PROBABILIT ´
E
(ABSOLUMENT CONTINUES)
Nous d´ ecrivons dans ce chapitre les principales lois de probabilit´ e admettant une densit´ e. Pour chacune d’elles, nous donnons ses propri´ et´ es, ainsi que
son champ d’application.
1. La loi uniforme sur [0, 1]
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire U ` a valeurs dans [0, 1] est dite
uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1] si elle est absolument continue et admet
pour densit´ e :
f (x) = I [0,1] (x).
La loi de densit´ e f est appel´ ee loi uniforme sur [0, 1].
Les propri´ et´ es suivantes sont imm´ ediates ` a ´ etablir :
E[U ] =
1
2
;
VarU =
1
12
;
g(u) = E[e
uU ] =
e
u
− 1
u
(u = 0), g(0) = 1 ; L(U ) = L(1 − U ).
La loi uniforme a une grande importance dans la th´ eorie de la simulation des
lois de probabilit´ e en raison du th´ eor` eme suivant dˆ u `
a P. L´ evy.
Th´ eor` eme 1.1. — Soit F : R → [0, 1] une fonction croissante, continue
` a droite, et v´ erifiant F (−∞) = 0, F (+∞) = 1. On note h :]0, 1[→ R sa
fonction inverse g´ en´ eralis´ ee d´ efinie par :
h(ω) = inf{x : F (x) ≥ ω}
(ω ∈]0, 1[ ).
Soit enfin U une variable al´ eatoire uniform´ ement r´ epartie sur [0, 1]. Alors la
variable al´ eatoire X = h ◦ U admet F comme fonction de r´ epartition.
D´ emonstration. — Il r´ esulte de la d´ efinition que l’on a l’´ equivalence :
ω ≤ F (x) ⇔ h(ω) ≤ x. On a alors pour tout r´ eel x
P{X ≤ x} = P{h ◦ U ≤ x} = P{U ≤ F (x)} = F (x).
Ceci montre que X admet F comme fonction de r´ epartition.