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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
densit´ e de probabilit´ e sur I. Alors ϕ(t) =
I
ϕ λ (t) f (λ) dλ est une fonction
caract´ eristique.
a) Montrer que si ϕ est une fonction caract´ eristique, alors Φ(t) =
(1/t)
t
0
ϕ(u) du est ´ egalement une fonction caract´ eristique (Khintchine).
b) Montrer que pour tout γ > 0 la fonction ϕ γ (t) = 1/(1 + t
2 )
γ est
une fonction caract´ eristique. Pour γ = 1, c’est la fonction caract´ eristique de
la premi` ere loi de Laplace ; pour γ =
1
2 , c’est la fonction caract´ eristique de
XY , o` u (X, Y ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant
chacune la loi normale N (0, 1).
c) On rencontre en analyse la formule
e
−|t| =
1
√
2π
R
exp
−
1
2
t
2
x 2 + x
2
dx.
Ceci montre que e
−|t| est une fonction caract´ eristique, puisque pour tout
x = 0 la fonction exp
−
1
2
t
2
x 2
est une fonction caract´ eristique et que
1
√
2π
exp
−
x
2
2
(x ∈ R) est une densit´ e.
12. — Soient (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires et Z = X + Y .
Montrer que si X est ind´ ependante de Z et Y ind´ ependante de Z, alors Z
est presque sˆ urement constante.
13. — ´
Etant donn´ e un syst` eme de trois variables al´ eatoires ind´ ependantes
(X, X 1 , X 2 ), on lui associe le couple (Y 1 , Y 2 ), o` u Y 1 = X + X 1 , Y 2 = X + X 2 .
Montrer que les variables al´ eatoires Y 1 et Y 2 sont ind´ ependantes si et
seulement si X est presque sˆ urement constante.
14. — Soit X une variable al´ eatoire admettant une fonction g´ en´ eratrice
des moments g(u). Montrer que l’on a l’in´ egalit´ e de Chernoff
∀ x > 0 P{X ≥ x} ≤ inf
u≥0
e
−ux g(u).
15. — La fonction caract´ eristique ϕ d’une variable al´ eatoire exponentielle X de param` etre λ > 0 v´ erifie
(1)
|ϕ(t)|
2 = ϕ(t).
Si ϕ(t) v´ erifie (1), il en est de mˆ eme de ϕ(−t), la fonction caract´ eristique de
la variable al´ eatoire −X. D’autre part, la seule fonction r´ eelle qui v´ erifie (1)
est ϕ(t) = 1, la fonction caract´ eristique de la constante 0. Existe-t-il d’autres
lois de probabilit´ e dont la fonction caract´ eristique v´ erifie (1). [Le probl` eme
reste ouvert.]