COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
175
7. — Calculer la fonction g´ en´ eratrice des moments de la variable al´ eatoire
|X|, lorsque X suit une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1).
8. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, suivant
chacune une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1). Montrer que le produit XY
admet une fonction g´ en´ eratrice des moments donn´ ee par : g(u) =
1
√
1 − u 2
(|u| < 1).
En rempla¸ cant formellement u par it (t r´ eel), on obtient la fonction
caract´ eristique de XY , soit ϕ(t) = 1/
√
1 + t 2 . Sa densit´ e est donn´ ee par
la formule d’inversion de Fourier
f (x) =
1
2π
R
e
−itx ϕ(t) dt =
1
π
∞
0
cos tx
√
1 + t 2
dt. =
1
π
K 0 (x),
o` u K 0 (x) est la fonction de Bessel modifi´ ee de genre 2 (cf. Abramowitz &
Stegun
3 ).
9. — Soit (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) un syst` eme de quatre variables al´ eatoires
ind´ ependantes suivant chacune une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1).
Montrer que le d´ eterminant ∆ =
X 1 X 2
X 3 X 4
admet une fonction g´ en´ eratrice
donn´ ee par : g(u) =
1
1 − u 2 (|u| < 1). C’est la fonction g´ en´ eratrice de la
premi` ere loi de Laplace.
10. — Soient (ϕ k ) (k ≥ 0) une suite de fonctions caract´ eristiques et
(α k ) (k ≥ 0) une suite de nombres positifs, de somme 1. Alors
k≥0
α k ϕ k est
une fonction caract´ eristique. En prenant ϕ k = (ϕ)
k , o` u ϕ est une fonction
caract´ eristique, on voit que
k≥0
α k (ϕ)
k est une fonction caract´ eristique.
a) Prenons α k = e
−λ λ
k /k! (λ > 0, k ∈ N). Si ϕ est une fonction
caract´ eristique, alors, pour tout λ > 0, la fonction ϕ λ = e
λ(ϕ−1) est une
fonction caract´ eristique (th´ eor` eme de Finetti). Ainsi, en prenant λ = 1
et ϕ(t) = 1/(1 + t
2 ), on voit que exp(−t
2 /(1 + t
2 )) est une fonction
caract´ eristique. Dans le cas particulier o` u ϕ(t) = e
it , d´ eterminer la loi
admettant ϕ λ pour fonction caract´ eristique.
b) Prenons α k = pq
k , (0 < p < 1, p + q = 1, k ∈ N). Montrer que
si ϕ est une fonction caract´ eristique, alors, pour tout λ > 1, la fonction
ϕ λ = (λ − 1)/(λ − ϕ) est une fonction caract´ eristique. Dans le cas particulier
o` u ϕ(t) = e
it , d´ eterminer la loi admettant ϕ λ pour fonction caract´ eristique.
11. — Soient (ϕ λ ) (λ ∈ I) une famille de fonctions caract´ eristiques index´ ee
par un indice λ prenant ses valeurs dans un intervalle I non vide et f une
3 Abramowitz (Milton) & Stegun (Irene). — Handbook of mathematical functions with
formulas, graphs, and mathematical tables. — New York, Dover, , section 9.6.21.
EMENTS ET EXERCICES
175
7. — Calculer la fonction g´ en´ eratrice des moments de la variable al´ eatoire
|X|, lorsque X suit une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1).
8. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, suivant
chacune une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1). Montrer que le produit XY
admet une fonction g´ en´ eratrice des moments donn´ ee par : g(u) =
1
√
1 − u 2
(|u| < 1).
En rempla¸ cant formellement u par it (t r´ eel), on obtient la fonction
caract´ eristique de XY , soit ϕ(t) = 1/
√
1 + t 2 . Sa densit´ e est donn´ ee par
la formule d’inversion de Fourier
f (x) =
1
2π
R
e
−itx ϕ(t) dt =
1
π
∞
0
cos tx
√
1 + t 2
dt. =
1
π
K 0 (x),
o` u K 0 (x) est la fonction de Bessel modifi´ ee de genre 2 (cf. Abramowitz &
Stegun
3 ).
9. — Soit (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) un syst` eme de quatre variables al´ eatoires
ind´ ependantes suivant chacune une loi normale centr´ ee r´ eduite N (0, 1).
Montrer que le d´ eterminant ∆ =
X 1 X 2
X 3 X 4
admet une fonction g´ en´ eratrice
donn´ ee par : g(u) =
1
1 − u 2 (|u| < 1). C’est la fonction g´ en´ eratrice de la
premi` ere loi de Laplace.
10. — Soient (ϕ k ) (k ≥ 0) une suite de fonctions caract´ eristiques et
(α k ) (k ≥ 0) une suite de nombres positifs, de somme 1. Alors
k≥0
α k ϕ k est
une fonction caract´ eristique. En prenant ϕ k = (ϕ)
k , o` u ϕ est une fonction
caract´ eristique, on voit que
k≥0
α k (ϕ)
k est une fonction caract´ eristique.
a) Prenons α k = e
−λ λ
k /k! (λ > 0, k ∈ N). Si ϕ est une fonction
caract´ eristique, alors, pour tout λ > 0, la fonction ϕ λ = e
λ(ϕ−1) est une
fonction caract´ eristique (th´ eor` eme de Finetti). Ainsi, en prenant λ = 1
et ϕ(t) = 1/(1 + t
2 ), on voit que exp(−t
2 /(1 + t
2 )) est une fonction
caract´ eristique. Dans le cas particulier o` u ϕ(t) = e
it , d´ eterminer la loi
admettant ϕ λ pour fonction caract´ eristique.
b) Prenons α k = pq
k , (0 < p < 1, p + q = 1, k ∈ N). Montrer que
si ϕ est une fonction caract´ eristique, alors, pour tout λ > 1, la fonction
ϕ λ = (λ − 1)/(λ − ϕ) est une fonction caract´ eristique. Dans le cas particulier
o` u ϕ(t) = e
it , d´ eterminer la loi admettant ϕ λ pour fonction caract´ eristique.
11. — Soient (ϕ λ ) (λ ∈ I) une famille de fonctions caract´ eristiques index´ ee
par un indice λ prenant ses valeurs dans un intervalle I non vide et f une
3 Abramowitz (Milton) & Stegun (Irene). — Handbook of mathematical functions with
formulas, graphs, and mathematical tables. — New York, Dover, , section 9.6.21.