174
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
2. — Soit X une variable al´ eatoire de loi pε 1 + qε 0 (0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1).
Calculer la fonction g´ en´ eratrice des moments de la variable centr´ ee X − p,
ainsi que ses moments d’ordre entier k ≥ 1.
3. (A. Joffe). — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, ` a valeurs positives, v´ erifiant P{X = 0} = P{Y = 0} = 0. D´ esignons
par g 1 (u), g 2 (v) les transform´ ees de Laplace de X, Y , respectivement d´ efinies
pour u ≥ 0 par :
g 1 (u) = E[e
−uX ],
g 2 (u) = E[e
−uY ] (u ≥ 0).
Alors on a les propri´ et´ es suivantes :
a) E
X
X + Y
= −
∞
0
g
1 (u)g 2 (u) du.
b) Si g(u) d´ esigne la transform´ ee de Laplace d’une variable al´ eatoire X
` a valeurs positives v´ erifiant P{X = 0} = 0, alors lim
u→+∞
g(u) = 0.
4. (A. Joffe). — Soient X une variable al´ eatoire ` a valeurs strictement
positives et g(u) = E[e
−uX ] sa transform´ ee de Laplace d´ efinie pour u ≥ 0.
Alors, pour tout p > 0, on a l’identit´ e suivante valable dans [0, +∞] :
E
1
X p
=
1
Γ(p)
∞
0
g(u)u
p−1 du.
En particulier, pour p =
1
2 ,
E
1
√
X
=
1
√
π
∞
0
g(u)u
−1/2 du.
Enfin, pour p = 1, on a :
E
1
X
=
∞
0
g(u) du.
5. — Soit X une variable al´ eatoire admettant une fonction g´ en´ eratrice
des moments g(u). Consid´ erons h(u) = Log g(u). Montrer que h
(0) = E[X],
h
(0) = Var X, h
(0) = E[(X − E[X])
3 ]. On remarquera que pour n > 3 la
quantit´ e h
(n) (0) n’est pas n´ ecessairement ´ egale au moment centr´ e d’ordre n
de X.
6. — On dit qu’une variable al´ eatoire r´ eelle X, `
a valeurs dans [1, +∞[,
suit la loi de Pareto P(a, 1), avec a > 0, si elle admet une densit´ e donn´ ee
par :
f (x) =
a
x a+1 I [1,+∞[ (x).
a) Les moments E[X
n ] existent-ils pour toutes les valeurs de n ≥ 1 ?
b) Pour quelles valeurs de u la fonction g(u) = E[e
uX ] est-elle d´ efinie ?
La variable al´ eatoire X admet-elle une fonction g´ en´ eratrice des moments ?
Admet-elle une fonction caract´ eristique ?