COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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donc lui appliquer la th´ eorie pr´ ec´ edente pour tout a > 0. Or lorsque a ↓ 0,
la variable X a tend en loi vers 0, ce que l’on v´ erifie directement en montrant
que lorsque a ↓ 0, on a : G(x) →
1, si x > 0 ;
0, si x < 0.
3) Reprenons l’´ egalit´ e (7.2) avec cette valeur de g pour a > 0 et faisons
a ↓ 0. La fonction G est positive, major´ ee (uniform´ ement en a > 0) par 1
(qui est µ-int´ egrable) et l’on a, lorsque a ↓ 0 :
G(z − v) →
1, si z − v > 0, v < z ;
0, si z − v < 0, v > z ;
c’est-` a-dire
G(z − v) → I ]−∞,z[ (v), v = z.
Le th´ eor` eme de convergence domin´ ee s’applique et l’on a, pour a ↓ 0
z
−∞
h(u) du →
R
I ]−∞,z[ (v) = µ(] − ∞, z[).
Or pour tout a > 0 le premier membre ne d´ epend que de ˆ
µ ; il en est
donc de mˆ eme de sa limite pour a ↓ 0. Il en r´ esulte que ˆ
µ d´ etermine la
valeur µ(] − ∞, z[) de la fonction de r´ epartition de µ en tout point z tel
que µ({z}) = 0 ; l’ensemble de ces points est partout dense, ˆ
µ d´ etermine la
fonction de r´ epartition de µ, donc µ.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soient (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles dont la loi
conjointe est d´ ecrite dans la remarque suivant le Th´ eor` eme 2.3 du pr´ esent
chapitre et (X
∗ , Y
∗ ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles, ind´ ependantes,
uniform´ ement r´ eparties sur [0, 1]. Si Z est une variable al´ eatoire r´ eelle, on
notera F Z sa fonction de r´ epartition. Les propri´ et´ es ci-dessous se d´ emontrent
g´ eom´ etriquement :
a) On a F X ∗ = F X et F Y ∗ = F Y .
b) Lorsque 1 ≤ z ≤ 2, on a F X ∗ +Y ∗ (z) = 1 − F X ∗ +Y ∗ (2 − z) et
F X+Y (z) = 1 − F X+Y (2 − z).
c) Lorsque 0 ≤ z ≤ 1, on a : F X+Y (z) = F X ∗ +Y ∗ (z). [Distinguer les
cas : 0 ≤ z ≤ 1/2 et 1/2 ≤ z ≤ 1.]
d) De a), b) et c) d´ ecoule F X+Y (z) = F X ∗ +Y ∗ (z) pour tout z. Enfin,
F X ∗ +Y ∗ (z) =

 
 
0,
si z < 0 ;
z
2 /2,
si 0 ≤ z < 1 ;
1 − (2 − z)
2 /2, si 1 ≤ z < 2 ;
1,
si z ≥ 2.