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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
ce lemme, on fait usage du produit de convolution µ ∗ ν de deux mesures,
introduit au chap. 11, § 6 et aussi de la propri´ et´ e ancipitale de certaines
densit´ es de probabilit´ e.
D´ efinition. — Soit g une densit´ e de probabilit´ e sur R. On dit qu’elle
a la propri´ et´ e ancipitale, si, `
a un facteur pr` es, elle est aussi la fonction
caract´ eristique d’une densit´ e de probabilit´ e sur R.
Si on se reporte au tableau des fonctions caract´ eristiques usuelles reproduit
apr` es le Th´ eor` eme 4.1, on constate que la densit´ e de probabilit´ e de la loi
normale N (0, 1) a la propri´ et´ e ancipitale. Il en est de mˆ eme de la densit´ e de
la loi N (0, a) (a > 0), puisque la densit´ e de N (0, a) est aussi, ` a un facteur
pr` es, ´ egale ` a la fonction caract´ eristique de la densit´ e de N (0, 1/a)
Lemme 7.2. — Soient µ une mesure de probabilit´ e sur R et g une densit´ e
de probabilit´ e sur R ayant la propri´ et´ e ancipitale. Alors la mesure µ∗g (c’est` a-dire la mesure µ ∗ (gλ), o` u λ est la mesure de Lebesgue sur R), admet une
densit´ e qui ne d´ epend de µ qu’` a travers sa propre fonction caract´ eristique ˆ
µ.
D´ emonstration. — En effet, par d´ efinition, il existe c > 0 et une densit´ e f
tels que g(t) = c
R
e
itx f (x) dx. Par ailleurs, la densit´ e h de µ ∗ g est donn´ ee
par :
h(u) =
R
g(u − v) dµ(v) = c
R
R
e
i(u−v)x f (x) dx
dµ(v)
(u ∈ R).
L’int´ egrable double au dernier membre est absolument convergente : on peut
donc appliquer le th´ eor` eme de Fubini et l’on obtient, pour tout u r´ eel :
(7.1)
h(u) = c
R
R
e
i(u−v)x f (x) dµ(v)
dx = c
R
e
iux f (x)ˆ µ(−x) dx.
On constate que cette quantit´ e ne d´ epend de µ qu’` a travers ˆ
µ.
Reprenons la d´ emonstration du th´ eor` eme 7.1.
1) Soit z r´ eel tel que µ({z}) = 0. On a, en appliquant le th´ eor` eme de
Fubini,
z
−∞
h(u) du =
R
z
−∞
g(u − v) du
dµ(v) =
R
z−v
−∞
g(y) dy
dµ(v),
c’est-` a-dire en d´ esignant par G la fonction de r´ epartition de g :
(7.2)
z
−∞
h(u) du =
R
G(z − v) dµ(v).
2) Prenons pour g la densit´ e d’une variable al´ eatoire X a de loi N (0, a)
(a > 0). Elle a la propri´ et´ e ancipitale, comme remarqu´ e plus haut. On peut
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
ce lemme, on fait usage du produit de convolution µ ∗ ν de deux mesures,
introduit au chap. 11, § 6 et aussi de la propri´ et´ e ancipitale de certaines
densit´ es de probabilit´ e.
D´ efinition. — Soit g une densit´ e de probabilit´ e sur R. On dit qu’elle
a la propri´ et´ e ancipitale, si, `
a un facteur pr` es, elle est aussi la fonction
caract´ eristique d’une densit´ e de probabilit´ e sur R.
Si on se reporte au tableau des fonctions caract´ eristiques usuelles reproduit
apr` es le Th´ eor` eme 4.1, on constate que la densit´ e de probabilit´ e de la loi
normale N (0, 1) a la propri´ et´ e ancipitale. Il en est de mˆ eme de la densit´ e de
la loi N (0, a) (a > 0), puisque la densit´ e de N (0, a) est aussi, ` a un facteur
pr` es, ´ egale ` a la fonction caract´ eristique de la densit´ e de N (0, 1/a)
Lemme 7.2. — Soient µ une mesure de probabilit´ e sur R et g une densit´ e
de probabilit´ e sur R ayant la propri´ et´ e ancipitale. Alors la mesure µ∗g (c’est` a-dire la mesure µ ∗ (gλ), o` u λ est la mesure de Lebesgue sur R), admet une
densit´ e qui ne d´ epend de µ qu’` a travers sa propre fonction caract´ eristique ˆ
µ.
D´ emonstration. — En effet, par d´ efinition, il existe c > 0 et une densit´ e f
tels que g(t) = c
R
e
itx f (x) dx. Par ailleurs, la densit´ e h de µ ∗ g est donn´ ee
par :
h(u) =
R
g(u − v) dµ(v) = c
R
R
e
i(u−v)x f (x) dx
dµ(v)
(u ∈ R).
L’int´ egrable double au dernier membre est absolument convergente : on peut
donc appliquer le th´ eor` eme de Fubini et l’on obtient, pour tout u r´ eel :
(7.1)
h(u) = c
R
R
e
i(u−v)x f (x) dµ(v)
dx = c
R
e
iux f (x)ˆ µ(−x) dx.
On constate que cette quantit´ e ne d´ epend de µ qu’` a travers ˆ
µ.
Reprenons la d´ emonstration du th´ eor` eme 7.1.
1) Soit z r´ eel tel que µ({z}) = 0. On a, en appliquant le th´ eor` eme de
Fubini,
z
−∞
h(u) du =
R
z
−∞
g(u − v) du
dµ(v) =
R
z−v
−∞
g(y) dy
dµ(v),
c’est-` a-dire en d´ esignant par G la fonction de r´ epartition de g :
(7.2)
z
−∞
h(u) du =
R
G(z − v) dµ(v).
2) Prenons pour g la densit´ e d’une variable al´ eatoire X a de loi N (0, a)
(a > 0). Elle a la propri´ et´ e ancipitale, comme remarqu´ e plus haut. On peut