7. PROPRI ´
ET ´
E FONDAMENTALE
171
Le th´ eor` eme suivant donne une caract´ erisation de l’ind´ ependance des
variables al´ eatoires marginales X, Y en termes des fonctions g´ en´ eratrices
des moments.
Th´ eor` eme 6.4. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une
fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v) d´ efinie dans un voisinage ouvert V
de (0, 0). Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.
1) X et Y sont ind´ ependantes ;
2) Pour tout (u, v) ∈ V on a : g(u, v) = g(u, 0)g(0, v).
D´ emonstration.
1) ⇒ 2) Supposons X, Y ind´ ependantes ; alors e
uX , e
vY sont ind´ ependantes et l’on a, pour tout (u, v) ∈ V les relations : g(u, v) = E
e
uX+vY
=
E
e
uX
E
e
vY
= g(u, 0)g(0, v).
2) ⇒ 1) Supposons que 2) soit v´ erifi´ e. D´ esignons par F(x, y) la fonction
de r´ epartition conjointe de (X, Y ) et par F X (x) et F Y (y) ses fonctions de
r´ epartition marginales. Il vient
g(u, v) =
R 2
e
ux+vy dF(x, y)
(6.1)
g(u, 0)g(0, v) =
R
e
ux dF X (x)
R
e
vy dF Y (y)
=
R 2
e
ux+vy dF X (x)dF Y (y)
(6.2)
Comme (6.1) = (6.2) pour tout (u, v) ∈ V , il r´ esulte alors du Th´ eor` eme 2.2
(th´ eor` eme d’unicit´ e) que F(x, y) = F X (x)F Y (y) pour tout couple (x, y) ; d’o` u
l’ind´ ependance de X, Y .
On peut ´ egalement d´ efinir la fonction caract´ eristique d’un couple (X, Y )
arbitraire par
ϕ(u, v) = E[e
i(uX+vY ) ]
(u, v) ∈ R
2 ).
On peut ´ etablir des th´ eor` emes analogues aux Th´ eor` emes 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.
Nous nous bornons `
a ´ enoncer le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 6.4
. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles,
dont la fonction caract´ eristique est not´ ee ϕ(u, v). Alors les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y sont ind´ ependantes.
b) Pour tout (u, v) ∈ R
2 on a : ϕ(u, v) = ϕ(u, 0)ϕ(0, v).
7. Propri´ et´ e fondamentale
Th´ eor` eme 7.1. — La fonction caract´ eristique d’une mesure de probabilit´ e d´ etermine cette mesure.
La d´ emonstration de ce th´ eor` eme repose sur le lemme suivant qui sera de
nouveau utilis´ e dans le chapitre 16 sur les convergences stochastiques. Dans
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E FONDAMENTALE
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Le th´ eor` eme suivant donne une caract´ erisation de l’ind´ ependance des
variables al´ eatoires marginales X, Y en termes des fonctions g´ en´ eratrices
des moments.
Th´ eor` eme 6.4. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une
fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v) d´ efinie dans un voisinage ouvert V
de (0, 0). Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes.
1) X et Y sont ind´ ependantes ;
2) Pour tout (u, v) ∈ V on a : g(u, v) = g(u, 0)g(0, v).
D´ emonstration.
1) ⇒ 2) Supposons X, Y ind´ ependantes ; alors e
uX , e
vY sont ind´ ependantes et l’on a, pour tout (u, v) ∈ V les relations : g(u, v) = E
e
uX+vY
=
E
e
uX
E
e
vY
= g(u, 0)g(0, v).
2) ⇒ 1) Supposons que 2) soit v´ erifi´ e. D´ esignons par F(x, y) la fonction
de r´ epartition conjointe de (X, Y ) et par F X (x) et F Y (y) ses fonctions de
r´ epartition marginales. Il vient
g(u, v) =
R 2
e
ux+vy dF(x, y)
(6.1)
g(u, 0)g(0, v) =
R
e
ux dF X (x)
R
e
vy dF Y (y)
=
R 2
e
ux+vy dF X (x)dF Y (y)
(6.2)
Comme (6.1) = (6.2) pour tout (u, v) ∈ V , il r´ esulte alors du Th´ eor` eme 2.2
(th´ eor` eme d’unicit´ e) que F(x, y) = F X (x)F Y (y) pour tout couple (x, y) ; d’o` u
l’ind´ ependance de X, Y .
On peut ´ egalement d´ efinir la fonction caract´ eristique d’un couple (X, Y )
arbitraire par
ϕ(u, v) = E[e
i(uX+vY ) ]
(u, v) ∈ R
2 ).
On peut ´ etablir des th´ eor` emes analogues aux Th´ eor` emes 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.
Nous nous bornons `
a ´ enoncer le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 6.4
. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles,
dont la fonction caract´ eristique est not´ ee ϕ(u, v). Alors les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y sont ind´ ependantes.
b) Pour tout (u, v) ∈ R
2 on a : ϕ(u, v) = ϕ(u, 0)ϕ(0, v).
7. Propri´ et´ e fondamentale
Th´ eor` eme 7.1. — La fonction caract´ eristique d’une mesure de probabilit´ e d´ etermine cette mesure.
La d´ emonstration de ce th´ eor` eme repose sur le lemme suivant qui sera de
nouveau utilis´ e dans le chapitre 16 sur les convergences stochastiques. Dans