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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
La d´ emonstration n´ ecessite un simple calcul. Notons que les cumulants
d’ordre 1, 2, 3 sont respectivement :
l’esp´ erance math´ ematique m 1 = E[X] ;
le moment centr´ e d’ordre deux, c’est-` a-dire la variance
µ 2 = E[(X − m 1 )
2 ] ;
le moment centr´ e d’ordre trois µ 3 = E[(X − m 1 )
3 ].
Les propri´ et´ es d’additivit´ e des coefficients κ s’´ etendent aux moments centr´ es
d’ordre 2 et 3, mais pas au-del` a ; le quatri` eme cumulant est par exemple
κ 4 = µ 4 − 3µ
2
2 .
Exemples
1) Soit X de loi N (µ, σ). On a ϕ(t) = exp(itµ −
1
2 t
2 σ
2 ), d’o` u ψ(t) =
itµ −
1
2 t
2 σ
2 et par cons´ equent κ 1 = µ, κ 2 = σ
2 et κ n = 0 pour tout n ≥ 3.
2) Soit X de loi P(λ). On a ϕ(t) = exp(λ(e
it
− 1)), d’o` u ψ(t) =
t(e
it
− 1) = λ
n≥1 (it)
n /n! , d’o` u κ n = λ pour tout n ≥ 1.
3) La loi de Cauchy n’a pas de cumulants.
6. Fonctions g´ en´ eratrice et caract´ eristique d’un vecteur al´ eatoire
Nous donnons ici quelques indications sur les fonctions g´ en´ eratrices et les
fonctions caract´ eristiques des vecteurs al´ eatoires ` a deux dimensions.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire tel que la fonction
g(u, v) = E
e
uX+vY
des deux variables r´ eelles u, v soit d´ efinie dans un voisinage ouvert de (0, 0).
Cette fonction est appel´ ee fonction g´ en´ eratrice des moments de (la loi de)
(X, Y ).
Les deux th´ eor` emes suivants sont les analogues des th´ eor` emes 3.1 et 3.2
au cas de deux variables et se d´ emontrent de la mˆ eme fa¸ con.
Th´ eor` eme 6.1 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction g´ en´ eratrice des
moments d’un vecteur al´ eatoire d´ etermine la loi de ce vecteur.
Th´ eor` eme 6.2. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une
fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v) (donc d´ efinie dans un voisinage
ouvert de (0, 0)). Alors
1) Pour tous entiers k, l ≥ 1, on a E[ |X|
k
|Y |
l ] < +∞ ;
2) E[X
k Y
l ] =
∂
k+l
∂ k u ∂ l v
g(u, v)
(u, v) = (0, 0)
.
Th´ eor` eme 6.3. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v). Alors chacune des variables al´ eatoires
marginales X, Y admet une fonction g´ en´ eratrice g 1 (u), g 2 (v). On a, de plus :
g 1 (u) = g(u, 0) ; g 2 (v) = g(0, v).
La d´ emonstration est imm´ ediate.
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
La d´ emonstration n´ ecessite un simple calcul. Notons que les cumulants
d’ordre 1, 2, 3 sont respectivement :
l’esp´ erance math´ ematique m 1 = E[X] ;
le moment centr´ e d’ordre deux, c’est-` a-dire la variance
µ 2 = E[(X − m 1 )
2 ] ;
le moment centr´ e d’ordre trois µ 3 = E[(X − m 1 )
3 ].
Les propri´ et´ es d’additivit´ e des coefficients κ s’´ etendent aux moments centr´ es
d’ordre 2 et 3, mais pas au-del` a ; le quatri` eme cumulant est par exemple
κ 4 = µ 4 − 3µ
2
2 .
Exemples
1) Soit X de loi N (µ, σ). On a ϕ(t) = exp(itµ −
1
2 t
2 σ
2 ), d’o` u ψ(t) =
itµ −
1
2 t
2 σ
2 et par cons´ equent κ 1 = µ, κ 2 = σ
2 et κ n = 0 pour tout n ≥ 3.
2) Soit X de loi P(λ). On a ϕ(t) = exp(λ(e
it
− 1)), d’o` u ψ(t) =
t(e
it
− 1) = λ
n≥1 (it)
n /n! , d’o` u κ n = λ pour tout n ≥ 1.
3) La loi de Cauchy n’a pas de cumulants.
6. Fonctions g´ en´ eratrice et caract´ eristique d’un vecteur al´ eatoire
Nous donnons ici quelques indications sur les fonctions g´ en´ eratrices et les
fonctions caract´ eristiques des vecteurs al´ eatoires ` a deux dimensions.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire tel que la fonction
g(u, v) = E
e
uX+vY
des deux variables r´ eelles u, v soit d´ efinie dans un voisinage ouvert de (0, 0).
Cette fonction est appel´ ee fonction g´ en´ eratrice des moments de (la loi de)
(X, Y ).
Les deux th´ eor` emes suivants sont les analogues des th´ eor` emes 3.1 et 3.2
au cas de deux variables et se d´ emontrent de la mˆ eme fa¸ con.
Th´ eor` eme 6.1 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction g´ en´ eratrice des
moments d’un vecteur al´ eatoire d´ etermine la loi de ce vecteur.
Th´ eor` eme 6.2. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une
fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v) (donc d´ efinie dans un voisinage
ouvert de (0, 0)). Alors
1) Pour tous entiers k, l ≥ 1, on a E[ |X|
k
|Y |
l ] < +∞ ;
2) E[X
k Y
l ] =
∂
k+l
∂ k u ∂ l v
g(u, v)
(u, v) = (0, 0)
.
Th´ eor` eme 6.3. — Soit (X, Y ) un vecteur al´ eatoire admettant une fonction g´ en´ eratrice des moments g(u, v). Alors chacune des variables al´ eatoires
marginales X, Y admet une fonction g´ en´ eratrice g 1 (u), g 2 (v). On a, de plus :
g 1 (u) = g(u, 0) ; g 2 (v) = g(0, v).
La d´ emonstration est imm´ ediate.