5. SECONDE FONCTION CARACT ´
ERISTIQUE
169
Or l’int´ egrale au second membre peut ˆ etre major´ ee en module par 1, puisque,
pour tout x tel que 0 ≤ x ≤ 1, on a |1 − rx| ≥ 1 − |rx| ≥ 1 − |x| ≥
1
2 . On a
donc
|Log(1 − r) + r| ≤ |r|
2
≤
3
2
t
2 σ
2
2 ≤ 3t
4 σ
4 ,
d’o` u
Log(1 − r) = −r + 3θt
4 σ
4 ,
o` u θ est un nombre complexe v´ erifiant |θ| ≤ 1. Ceci ´ etablit b).
5. Seconde fonction caract´ eristique
D´ efinition. — Soient X une variable al´ eatoire r´ eelle, ϕ(t) sa fonction
caract´ eristique. On appelle seconde fonction caract´ eristique de (la loi) de X
la fonction ψ(t) = Log ϕ(t) (t ∈ R).
Comme la fonction caract´ eristique ϕ(t) est une fonction `
a valeurs complexes, il faut pr´ eciser celle des d´ eterminations du logarithme que l’on
consid` ere : puisque ϕ(0) = 1, on convient de prendre ψ continue et ψ(0) = 0.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes. Alors, pour tout t r´ eel, on a :
ψ X+Y (t) = ψ X (t) + ψ Y (t).
La d´ emonstration r´ esulte imm´ ediatement du Th´ eor` eme 4.3.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle et supposons que sa
seconde fonction caract´ eristique ψ admette un d´ eveloppement de Taylor au
voisinage de l’origine
ψ(t) =
n≥1
κ n
(it)
n
n!
.
Le coefficient κ n de (it)
n /n! dans ce d´ eveloppement est appel´ e le n
i` eme cumulant de (la loi ) de X.
Th´ eor` eme 5.2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires dont
chacune v´ erifie les hypoth` eses de la d´ efinition pr´ ec´ edente. Le cumulant d’ordre n de X + Y est la somme des cumulants d’ordre n de X et du cumulant
d’ordre n de Y (d’o` u la terminologie de cumulant ).
La d´ emonstration est une cons´ equence directe du Th´ eor` eme 5.1 et de la
d´ efinition pr´ ec´ edente.
Proposition 5.3. — D´ esignons par m 1 , m 2 , m 3 les moments d’ordre 1,
2, 3 de X et par µ 1 = 0, µ 2 , µ 3 ses moments centr´ es d’ordre 1, 2, 3. Alors
ϕ(t) = 1 + itm 1 +
(it)
2
2!
m 2 +
(it)
3
3!
m 3 + o(|t|
3 ) = 1 + λ(t)
ψ(t) = Log
1 + λ(t)
= itm 1 +
(it)
2
2!
µ 2 +
(it)
3
3!
µ 3 + o(|t|
3 ).
ERISTIQUE
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Or l’int´ egrale au second membre peut ˆ etre major´ ee en module par 1, puisque,
pour tout x tel que 0 ≤ x ≤ 1, on a |1 − rx| ≥ 1 − |rx| ≥ 1 − |x| ≥
1
2 . On a
donc
|Log(1 − r) + r| ≤ |r|
2
≤
3
2
t
2 σ
2
2 ≤ 3t
4 σ
4 ,
d’o` u
Log(1 − r) = −r + 3θt
4 σ
4 ,
o` u θ est un nombre complexe v´ erifiant |θ| ≤ 1. Ceci ´ etablit b).
5. Seconde fonction caract´ eristique
D´ efinition. — Soient X une variable al´ eatoire r´ eelle, ϕ(t) sa fonction
caract´ eristique. On appelle seconde fonction caract´ eristique de (la loi) de X
la fonction ψ(t) = Log ϕ(t) (t ∈ R).
Comme la fonction caract´ eristique ϕ(t) est une fonction `
a valeurs complexes, il faut pr´ eciser celle des d´ eterminations du logarithme que l’on
consid` ere : puisque ϕ(0) = 1, on convient de prendre ψ continue et ψ(0) = 0.
Th´ eor` eme 5.1. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes. Alors, pour tout t r´ eel, on a :
ψ X+Y (t) = ψ X (t) + ψ Y (t).
La d´ emonstration r´ esulte imm´ ediatement du Th´ eor` eme 4.3.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle et supposons que sa
seconde fonction caract´ eristique ψ admette un d´ eveloppement de Taylor au
voisinage de l’origine
ψ(t) =
n≥1
κ n
(it)
n
n!
.
Le coefficient κ n de (it)
n /n! dans ce d´ eveloppement est appel´ e le n
i` eme cumulant de (la loi ) de X.
Th´ eor` eme 5.2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires dont
chacune v´ erifie les hypoth` eses de la d´ efinition pr´ ec´ edente. Le cumulant d’ordre n de X + Y est la somme des cumulants d’ordre n de X et du cumulant
d’ordre n de Y (d’o` u la terminologie de cumulant ).
La d´ emonstration est une cons´ equence directe du Th´ eor` eme 5.1 et de la
d´ efinition pr´ ec´ edente.
Proposition 5.3. — D´ esignons par m 1 , m 2 , m 3 les moments d’ordre 1,
2, 3 de X et par µ 1 = 0, µ 2 , µ 3 ses moments centr´ es d’ordre 1, 2, 3. Alors
ϕ(t) = 1 + itm 1 +
(it)
2
2!
m 2 +
(it)
3
3!
m 3 + o(|t|
3 ) = 1 + λ(t)
ψ(t) = Log
1 + λ(t)
= itm 1 +
(it)
2
2!
µ 2 +
(it)
3
3!
µ 3 + o(|t|
3 ).