168
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
Th´ eor` eme 4.6. — Soit X une variable al´ eatoire de fonction caract´ eristique ϕ. Supposons qu’il existe un entier n ≥ 1 tel que E[ |X|
n ] < +∞.
Alors
1) ϕ est continˆ ument d´ erivable jusqu’` a l’ordre n inclus ;
2) pour tout k = 0, 1, . . . , n on a : ϕ
(k) (0) = i
k
E[X
k ] ;
3) ϕ peut ˆ etre repr´ esent´ ee par la formule de Taylor :
ϕ(t) =
n
k=0
(it)
k
k!
E[X
k ] + o(|t|
n ), lorsque t → 0.
Le th´ eor` eme suivant est un outil technique qui nous servira au chapitre 18,
§ 4, pour la d´ emonstration du th´ eor` eme central limit .
Th´ eor` eme 4.7. — Soit X une variable al´ eatoire de L
2 , centr´ ee. Posons
Var X = σ
2 et d´ esignons par ϕ sa fonction caract´ eristique. Alors
a) pour tout t r´ eel, la fonction ϕ(t) admet la repr´ esentation
ϕ(t) = 1 −
t
2 σ
2
2
− t
2
1
0
(1 − u)E
X
2
e
ituX
− 1
du.
b) pour tout t r´ eel tel que 3t
2 σ
2
≤ 1, la fonction Log ϕ(t) existe et admet
la repr´ esentation
Log ϕ(t) = −
t
2
2
σ
2
− t
2
1
0
(1 − u)E
X
2
e
ituX
− 1
du + 3θt
4 σ
4 ,
o` u θ est un nombre complexe v´ erifiant |θ| ≤ 1.
D´ emonstration. — Pour tout t et tout x r´ eels, on a l’identit´ e :
e
itx = 1 + itx −
t
2 x
2
2
− t
2 x
2
1
0
(1 − u)
e
itux
− 1
du.
a) En int´ egrant cette identit´ e par rapport `
a µ, o` u µ est la loi de X, on
obtient la premi` ere repr´ esentation a).
b) La fonction ϕ(t) est de la forme 1 − r, o` u
r =
t
2
2
σ
2 + t
2
1
0
(1 − u)E
X
2
e
ituX
− 1
du.
Or |r| ≤
3
2 t
2 σ
2 , de sorte que |r| ≤
1
2 si 3t
2 σ
2
≤ 1. D’autre part, pour tout
nombre complexe tel que |r| ≤
1
2 , on a
Log(1 − r) = −r
1
0
dx
1 − rx
, d’o` u Log(1 − r) + r = −r
2
1
0
x
1 − rx
dx.