4. FONCTIONS CARACT ´
ERISTIQUES
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ind´ ependantes qui, n´ eanmoins, v´ erifie (4.1). On peut donner ici un exemple
particuli` erement frappant (qui n’est pas valable pour les fonctions g´ en´ eratrices des moments).
Soit X une variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1) ; sa fonction caract´ eristique est donn´ ee par ϕ X (t) = e
−|t| . Le couple (X, Y ), o` u Y = X fournit
l’exemple d´ esir´ e : en effet,
ϕ X+Y (t) = ϕ 2X (t) = e
−2|t| =
e
−|t|
2 = ϕ X (t)ϕ Y (t).
Corollaire. — Le produit de deux fonctions caract´ eristiques est une
fonction caract´ eristique.
Th´ eor` eme 4.4. — Si ϕ est une fonction caract´ eristique, il en est de
mˆ eme de ϕ, |ϕ|
2 , e ϕ. Si, en outre, ϕ est la fonction caract´ eristique d’une
variable al´ eatoire absolument continue, il en est de mˆ eme de ϕ, |ϕ|
2 .
D´ emonstration. — Soit X une variable al´ eatoire admettant ϕ comme
fonction caract´ eristique. La variable al´ eatoire −X admet pour fonction
caract´ eristique ϕ. En outre, si X est absolument continue, il en est de mˆ eme
de −X.
Soit X
une variable al´ eatoire ind´ ependante de X et admettant mˆ eme
loi que X. Alors la variable al´ eatoire Y = X − X
admet pour fonction
caract´ eristique : ϕ X−X (t) = ϕ X (t)ϕ −X (t) = ϕ X (t)ϕ X (t) = |ϕ X (t)|
2 . En
outre, si X est absolument continue, il en est de mˆ eme de Y . La variable
al´ eatoire Y est dite la sym´ etris´ ee de X.
On a e ϕ = (ϕ + ϕ)/2, o` u ϕ et ϕ sont des fonctions caract´ eristiques. Or
le barycentre `
a coefficients positifs de fonctions caract´ eristiques est encore
une fonction caract´ eristique.
´
Etudions `
a pr´ esent les rapports entre fonction caract´ eristique et moments.
Th´ eor` eme 4.5. — Soit X une variable al´ eatoire de fonction caract´ eristique ϕ. Si E[ |X| ] < +∞, alors ϕ est continˆ ument d´ erivable et ϕ
(0) = i E[X].
D´ emonstration. — Nous faisons la d´ emonstration dans le cas o` u X admet
une densit´ e f . Dans ce cas,
ϕ(t) = E[e
itX ] =
R
e
itx f (x) dx.
On constate que pour tout nombre r´ eel t on a :
R
ix e
itx f (x) dx
≤
R
|x| f (x) dx = E[ |X| ] < +∞.
On peut donc d´ eriver sous le signe somme et ´ ecrire, pour tout nombre r´ eel t,
l’expression ϕ
(t) =
R
ix e
itx f (x) dx, d’o` u ϕ
(0) = i E[X].
Suivant la mˆ eme m´ ethode, on d´ emontre le th´ eor` eme suivant concernant
les moments d’ordre sup´ erieur.
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ind´ ependantes qui, n´ eanmoins, v´ erifie (4.1). On peut donner ici un exemple
particuli` erement frappant (qui n’est pas valable pour les fonctions g´ en´ eratrices des moments).
Soit X une variable al´ eatoire de Cauchy C(0, 1) ; sa fonction caract´ eristique est donn´ ee par ϕ X (t) = e
−|t| . Le couple (X, Y ), o` u Y = X fournit
l’exemple d´ esir´ e : en effet,
ϕ X+Y (t) = ϕ 2X (t) = e
−2|t| =
e
−|t|
2 = ϕ X (t)ϕ Y (t).
Corollaire. — Le produit de deux fonctions caract´ eristiques est une
fonction caract´ eristique.
Th´ eor` eme 4.4. — Si ϕ est une fonction caract´ eristique, il en est de
mˆ eme de ϕ, |ϕ|
2 , e ϕ. Si, en outre, ϕ est la fonction caract´ eristique d’une
variable al´ eatoire absolument continue, il en est de mˆ eme de ϕ, |ϕ|
2 .
D´ emonstration. — Soit X une variable al´ eatoire admettant ϕ comme
fonction caract´ eristique. La variable al´ eatoire −X admet pour fonction
caract´ eristique ϕ. En outre, si X est absolument continue, il en est de mˆ eme
de −X.
Soit X
une variable al´ eatoire ind´ ependante de X et admettant mˆ eme
loi que X. Alors la variable al´ eatoire Y = X − X
admet pour fonction
caract´ eristique : ϕ X−X (t) = ϕ X (t)ϕ −X (t) = ϕ X (t)ϕ X (t) = |ϕ X (t)|
2 . En
outre, si X est absolument continue, il en est de mˆ eme de Y . La variable
al´ eatoire Y est dite la sym´ etris´ ee de X.
On a e ϕ = (ϕ + ϕ)/2, o` u ϕ et ϕ sont des fonctions caract´ eristiques. Or
le barycentre `
a coefficients positifs de fonctions caract´ eristiques est encore
une fonction caract´ eristique.
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Etudions `
a pr´ esent les rapports entre fonction caract´ eristique et moments.
Th´ eor` eme 4.5. — Soit X une variable al´ eatoire de fonction caract´ eristique ϕ. Si E[ |X| ] < +∞, alors ϕ est continˆ ument d´ erivable et ϕ
(0) = i E[X].
D´ emonstration. — Nous faisons la d´ emonstration dans le cas o` u X admet
une densit´ e f . Dans ce cas,
ϕ(t) = E[e
itX ] =
R
e
itx f (x) dx.
On constate que pour tout nombre r´ eel t on a :
R
ix e
itx f (x) dx
≤
R
|x| f (x) dx = E[ |X| ] < +∞.
On peut donc d´ eriver sous le signe somme et ´ ecrire, pour tout nombre r´ eel t,
l’expression ϕ
(t) =
R
ix e
itx f (x) dx, d’o` u ϕ
(0) = i E[X].
Suivant la mˆ eme m´ ethode, on d´ emontre le th´ eor` eme suivant concernant
les moments d’ordre sup´ erieur.