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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
On est donc ramen´ e au calcul classique d’une int´ egrale d´ ependant d’un
param` etre. Par d´ erivation sous le signe somme, qu’il est facile de justifier, on
obtient
ϕ
(t) =
1
√
2π
R
(−x sin(tx)) e
−x
2 /2 dx ;
soit en int´ egrant par parties,
ϕ
(t) = −t ϕ(t) ;
comme ϕ(0) = 1, on obtient bien par int´ egration :
ϕ(t) = e
−t
2 /2 .
Remarque. — Formellement, la fonction caract´ eristique ϕ(t) se d´ eduit de
la fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) en rempla¸ cant u par it. Dans de
nombreux cas, comme par exemple les six premi` eres lois du tableau pr´ ec´ edent,
l’expression g(it) obtenue par substitution a bien un sens en tant que fonction
` a valeurs complexes et est bien ´ egale ` a la fonction caract´ eristique calcul´ ee
directement par sommation ou par int´ egration dans le plan complexe. On
ne peut toutefois ´ eriger cette substitution en r` egle g´ en´ erale, car, d’une part,
g(u) peut ne pas ˆ etre d´ efinie en dehors de l’origine (c’est le cas, par exemple,
de la loi de Cauchy), d’autre part, mˆ eme si g(u) est bien d´ efinie comme
fonction de la variable r´ eelle u, la fonction complexe g(it) peut avoir plusieurs
d´ eterminations dans le plan complexe, par exemple, d` es que l’expression
alg´ ebrique de g contient des puissances de la variable complexe non enti` eres.
Il convient donc de faire chaque fois un calcul direct de ϕ(t).
Th´ eor` eme 4.2 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction caract´ eristique d’une
variable al´ eatoire d´ etermine la loi de cette variable. En d’autres termes, si
deux variables al´ eatoires admettent mˆ eme fonction caract´ eristique, elles ont
mˆ eme loi.
Ce th´ eor` eme justifie la terminologie de fonction caract´ eristique : la fonction
caract´ eristique caract´ erise la loi. Nous donnerons une d´ emonstration de ce
th´ eor` eme ` a la fin de ce chapitre.
Th´ eor` eme 4.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes. Alors, pour tout r´ eel t, on a :
(4.1)
ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t).
D´ emonstration. — En effet, ϕ X+Y (t) = E[e
it(X+Y ) ] = E[e
itX e
itY ], d’o` u,
puisque X et Y sont ind´ ependantes, donc aussi e
itX et e
itY :
ϕ X+Y (t) = E[e
itX ] E[e
itY ] = ϕ X (t)ϕ Y (t).
Remarque. — La propri´ et´ e (4.1) n’est pas caract´ eristique de l’ind´ ependance : il est possible de construire un couple de variables al´ eatoires non
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
On est donc ramen´ e au calcul classique d’une int´ egrale d´ ependant d’un
param` etre. Par d´ erivation sous le signe somme, qu’il est facile de justifier, on
obtient
ϕ
(t) =
1
√
2π
R
(−x sin(tx)) e
−x
2 /2 dx ;
soit en int´ egrant par parties,
ϕ
(t) = −t ϕ(t) ;
comme ϕ(0) = 1, on obtient bien par int´ egration :
ϕ(t) = e
−t
2 /2 .
Remarque. — Formellement, la fonction caract´ eristique ϕ(t) se d´ eduit de
la fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) en rempla¸ cant u par it. Dans de
nombreux cas, comme par exemple les six premi` eres lois du tableau pr´ ec´ edent,
l’expression g(it) obtenue par substitution a bien un sens en tant que fonction
` a valeurs complexes et est bien ´ egale ` a la fonction caract´ eristique calcul´ ee
directement par sommation ou par int´ egration dans le plan complexe. On
ne peut toutefois ´ eriger cette substitution en r` egle g´ en´ erale, car, d’une part,
g(u) peut ne pas ˆ etre d´ efinie en dehors de l’origine (c’est le cas, par exemple,
de la loi de Cauchy), d’autre part, mˆ eme si g(u) est bien d´ efinie comme
fonction de la variable r´ eelle u, la fonction complexe g(it) peut avoir plusieurs
d´ eterminations dans le plan complexe, par exemple, d` es que l’expression
alg´ ebrique de g contient des puissances de la variable complexe non enti` eres.
Il convient donc de faire chaque fois un calcul direct de ϕ(t).
Th´ eor` eme 4.2 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction caract´ eristique d’une
variable al´ eatoire d´ etermine la loi de cette variable. En d’autres termes, si
deux variables al´ eatoires admettent mˆ eme fonction caract´ eristique, elles ont
mˆ eme loi.
Ce th´ eor` eme justifie la terminologie de fonction caract´ eristique : la fonction
caract´ eristique caract´ erise la loi. Nous donnerons une d´ emonstration de ce
th´ eor` eme ` a la fin de ce chapitre.
Th´ eor` eme 4.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes. Alors, pour tout r´ eel t, on a :
(4.1)
ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t).
D´ emonstration. — En effet, ϕ X+Y (t) = E[e
it(X+Y ) ] = E[e
itX e
itY ], d’o` u,
puisque X et Y sont ind´ ependantes, donc aussi e
itX et e
itY :
ϕ X+Y (t) = E[e
itX ] E[e
itY ] = ϕ X (t)ϕ Y (t).
Remarque. — La propri´ et´ e (4.1) n’est pas caract´ eristique de l’ind´ ependance : il est possible de construire un couple de variables al´ eatoires non