4. FONCTIONS CARACT ´
ERISTIQUES
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5) si la loi de X est sym´ etrique, c’est-` a-dire si L(−X) = L(X), alors
ϕ X est une fonction r´ eelle, donc paire ;
6) toute combinaison convexe de fonctions caract´ eristiques est une fonction caract´ eristique.
D´ emonstration. — Donnons seulement une indication pour la propri´ et´ e 5).
Il suffit d’´ ecrire : ϕ X (t) = ϕ −X (t) = ϕ X (−t) = ϕ X (t). D’o` u ϕ X est r´ eelle,
donc paire.
Le tableau des fonctions caract´ eristiques des lois usuelles est reproduit
dans la table suivante. Les trois premi` eres lois sont discr` etes, de forme
k p k ε k . On pr´ ecise chaque fois l’ensemble des valeurs prises par l’entier k.
Les autres sont absolument continues, de densit´ e f . Une description compl` ete
de ces quatre derni` eres lois est faite au chapitre suivant, § 5, 6, 3 et 7,
respectivement.
Loi
Expression analytique
Fonction
caract´ eristique
Loi binomiale
p k =
n
k
p
k q
n−k (0 ≤ k ≤ n)
(q + pe
it )
n
Loi de Poisson
p k = e
−λ λ
k
k!
(k ≥ 0, λ > 0)
e
λ(e
it −1)
Loi g´ eom´ etrique
p k = q
k−1 p (k ≥ 1)
pe
it
1 − qe it
Loi exponentielle E(λ) f (x) = λe
−λx I [0,∞[ (x) (λ > 0)
λ
λ − it
Premi` ere loi de Laplace
f (x) =
1
2
e
−|x|
(x ∈ R)
1
1 + t 2
Loi normale N (0, 1)
f (x) =
1
√
2π
e
−x
2 /2
(x ∈ R)
e
−t
2 /2
Loi de Cauchy C(0, 1)
f (x) =
1
π
1
1 + x 2 (x ∈ R)
e
−|t|
Le calcul concernant les trois premi` eres lois est banal ; il n’en est pas de
mˆ eme des autres. Cependant, pour le calcul de la fonction caract´ eristique de
loi normale N (0, 1), on peut ´ eviter de recourir `
a la th´ eorie des fonctions de
variable complexe en s’y prenant comme suit.
La loi N (0, 1) d’une variable al´ eatoire normale est ´ evidemment sym´ etrique.
Sa fonction caract´ eristique est donc ´ egale ` a :
ϕ(t) = E[e
itX ] = E[cos tX] =
1
√
2π
R
cos(tx) e
−x
2 /2 dx.