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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
Th´ eor` eme 3.1
. — Soient X une variable al´ eatoire `
a valeurs dans N
et G sa fonction g´ en´ eratrice des moments factoriels. Supposons que G soit
d´ efinie dans un voisinage ouvert de u = 1. Alors
a) tous les moments d’ordre entier positif E[X
n ] existent et sont finis ; il
en r´ esulte que tous les moments factoriels d’ordre entier strictement positif
de X existent et sont finis ;
b) pour tout n ≥ 1, on a g
(n) (0) = E[X
n ].
D´ emonstration
a) Supposons que G(u) soit d´ efinie dans un voisinage ouvert de 1 ; elle
est alors d´ efinie dans un intervalle U =]u 1 , u 2 [ (0 < u 1 < 1 < u 2 ). Pour
tout u ∈ U , posons u = e
t , t = Log u. Alors g(t) = G(e
t ) est d´ efinie dans
l’intervalle ouvert ]t 1 , t 2 [, o` u t 1 < 0 < t 2 , t 1 = Log u 1 , t 2 = Log u 2 . Il r´ esulte
alors du Th´ eor` eme 3.1 1) que tous les moments d’ordre entier positif de X
existent et sont finis ; il en est de mˆ eme de tous ses moments factoriels.
b) r´ esulte du Th´ eor` eme 3.1 3).
4. Fonctions caract´ eristiques. — A un stade plus avanc´ e, on pr´ ef` ere
travailler avec la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire plutˆ ot
qu’avec sa fonction g´ en´ eratrice des moments. La fonction caract´ eristique
de X, d´ efinie pour tout t r´ eel par ϕ(t) = E[e
itX ], a l’´ enorme avantage d’exister
pour tout nombre r´ eel t et toute variable al´ eatoire X. En outre, la correspondance entre loi de probabilit´ e d’une variable al´ eatoire et fonction caract´ eristique est bijective. En revanche, le maniement des fonctions caract´ eristiques
est plus d´ elicat, puisqu’il fait appel `
a la th´ eorie des fonctions d’une variable
complexe.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle. On appelle fonction
caract´ eristique de X (ou de la loi de X) la fonction de la variable r´ eelle t
d´ efinie par :
ϕ X (t) = E[e
itX ].
a) Si X est une variable al´ eatoire de loi discr` ete
k
p k ε x k , alors ϕ(t) =
k
p k e
itx k .
b) Si X est une variable absolument continue, de densit´ e f , alors
ϕ(t) =
R
e
itx f (x) dx.
Th´ eor` eme 4.1 (Propri´ et´ es ´ el´ ementaires). — D´ esignons par ϕ la fonction
caract´ eristique d’une variable al´ eatoire r´ eelle X. Alors
1) ϕ est une fonction d´ efinie et continue pour tout nombre r´ eel t ;
2) ϕ est born´ ee, et en fait, pour tout t r´ eel, on a : |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1 ;
3) ϕ est une fonction hermitique, c’est-` a-dire pour tout nombre r´ eel t on
a : ϕ(−t) = ϕ(t) ; il en r´ esulte que si une fonction caract´ eristique est r´ eelle,
alors elle est paire ;
4) pour tous a, b r´ eels, on a, pour tout r´ eel t, l’identit´ e : ϕ aX+b (t) =
e
ibt ϕ X (at) ;