3. MOMENTS
163
On se trouve dans les conditions d’application du th´ eor` eme de convergence
domin´ ee et l’on obtient donc :
g(t) =
+∞
−∞
h(x) dx = lim
n
+∞
−∞
h n (x) dx = lim
n
n
k=0
t
k
k!
+∞
−∞
x
k f (x) dx
=
k≥0
t
k
k!
E[X
k ].
3) On sait qu’une s´ erie enti` ere peut ˆ etre d´ eriv´ ee terme ` a terme dans son
domaine de convergence. Il r´ esulte donc de la partie 2) que pour tout t dans
l’intervalle ] − s, s[ et tout k = 1, 2, . . . on a :
g
(k) (t) =
n≥k
n(n − 1) . . . (n − k + 1) E[X
n ]
t
n−k
n!
;
d’o` u g
(k) (0) = E[X
k ].
Remarques. — On vient de voir que si une variable al´ eatoire admet
une fonction g´ en´ eratrice des moments, elle admet des moments de tous les
ordres entiers positifs. La r´ eciproque est fausse : une variable al´ eatoire peut
admettre des moments de tous les ordres entiers positifs, sans admettre de
fonction g´ en´ eratrice des moments (au sens de la d´ efinition donn´ ee dans le
paragraphe 1), comme le montre l’exemple suivant.
Soit X = e
Y , o` u Y suit une loi normale centr´ ee, r´ eduite N (0, 1) (voir
chap. 14, § 3 et 4). La loi de X est appel´ ee log-normale (0, 1).
a) D’abord X admet des moments de tous les ordres ; en effet, on a :
E[X
n ] =
+∞
−∞
e
ny 1
√
2π
e
−y
2 /2 dy = e
n
2 /2 < +∞.
b) D’autre part, g(u) = E[e
uX ] =
+∞
−∞
e
ue
y
1
√
2π
e
−y
2 /2 dy.
Cette int´ egrale est convergente si et seulement si u ∈] − ∞, 0]. (Noter que
pour u > 0 et y assez grand, on a : ue
y > y
2 /2.) Or ] − ∞, 0] n’est pas un
voisinage ouvert de u = 0, de sorte que g n’est pas une fonction g´ en´ eratrice
des moments.
Ainsi X admet des moments de tous les ordres, alors qu’elle n’admet pas
de fonction g´ en´ eratrice des moments. Ceci a pour cons´ equence que la suite
des moments ne d´ etermine pas la loi de probabilit´ e : il existe d’autres lois,
diff´ erentes de la loi log-normale, admettant mˆ eme suite des moments.
Cas particulier. — Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N ; il est
d’usage de lui associer la fonction g´ en´ eratrice des moments factoriels G :
G(u) = E
u
X
,
qui est li´ ee ` a la fonction g´ en´ eratrice des moments g
g(u) = E
e
uX
,
par la relation : g(u) = G
e
u
. (Pour une ´ etude des ces fonctions, voir
chap. 9.) Le th´ eor` eme suivant r´ esulte alors du th´ eor` eme 3.1.
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On se trouve dans les conditions d’application du th´ eor` eme de convergence
domin´ ee et l’on obtient donc :
g(t) =
+∞
−∞
h(x) dx = lim
n
+∞
−∞
h n (x) dx = lim
n
n
k=0
t
k
k!
+∞
−∞
x
k f (x) dx
=
k≥0
t
k
k!
E[X
k ].
3) On sait qu’une s´ erie enti` ere peut ˆ etre d´ eriv´ ee terme ` a terme dans son
domaine de convergence. Il r´ esulte donc de la partie 2) que pour tout t dans
l’intervalle ] − s, s[ et tout k = 1, 2, . . . on a :
g
(k) (t) =
n≥k
n(n − 1) . . . (n − k + 1) E[X
n ]
t
n−k
n!
;
d’o` u g
(k) (0) = E[X
k ].
Remarques. — On vient de voir que si une variable al´ eatoire admet
une fonction g´ en´ eratrice des moments, elle admet des moments de tous les
ordres entiers positifs. La r´ eciproque est fausse : une variable al´ eatoire peut
admettre des moments de tous les ordres entiers positifs, sans admettre de
fonction g´ en´ eratrice des moments (au sens de la d´ efinition donn´ ee dans le
paragraphe 1), comme le montre l’exemple suivant.
Soit X = e
Y , o` u Y suit une loi normale centr´ ee, r´ eduite N (0, 1) (voir
chap. 14, § 3 et 4). La loi de X est appel´ ee log-normale (0, 1).
a) D’abord X admet des moments de tous les ordres ; en effet, on a :
E[X
n ] =
+∞
−∞
e
ny 1
√
2π
e
−y
2 /2 dy = e
n
2 /2 < +∞.
b) D’autre part, g(u) = E[e
uX ] =
+∞
−∞
e
ue
y
1
√
2π
e
−y
2 /2 dy.
Cette int´ egrale est convergente si et seulement si u ∈] − ∞, 0]. (Noter que
pour u > 0 et y assez grand, on a : ue
y > y
2 /2.) Or ] − ∞, 0] n’est pas un
voisinage ouvert de u = 0, de sorte que g n’est pas une fonction g´ en´ eratrice
des moments.
Ainsi X admet des moments de tous les ordres, alors qu’elle n’admet pas
de fonction g´ en´ eratrice des moments. Ceci a pour cons´ equence que la suite
des moments ne d´ etermine pas la loi de probabilit´ e : il existe d’autres lois,
diff´ erentes de la loi log-normale, admettant mˆ eme suite des moments.
Cas particulier. — Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N ; il est
d’usage de lui associer la fonction g´ en´ eratrice des moments factoriels G :
G(u) = E
u
X
,
qui est li´ ee ` a la fonction g´ en´ eratrice des moments g
g(u) = E
e
uX
,
par la relation : g(u) = G
e
u
. (Pour une ´ etude des ces fonctions, voir
chap. 9.) Le th´ eor` eme suivant r´ esulte alors du th´ eor` eme 3.1.