162
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
3. Moments. — Le th´ eor` eme suivant justifie la terminologie de fonction
g´ en´ eratrice des moments qui a ´ et´ e adopt´ ee.
Th´ eor` eme 3.1. — Soit X une variable al´ eatoire admettant une fonction
g´ en´ eratrice des moments g. Supposons que g(u) soit d´ efinie pour tout u dans
l’intervalle ouvert ]u 1 , u 2 [, o` u u 1 < 0 < u 2 . Alors
1) pour tout k ≥ 1 on a E[ |X|
k ] < +∞ ;
2) pour tout t ∈] − s, +s[, o` u 0 < s < u 0 = min(−u 1 , u 2 ), on a :
g(t) = 1 + E[X]
t
1!
+ E[X
2 ]
t
2
2!
+ · · · + E[X
n ]
t
n
n!
+ · · ·
3) pour tout k ≥ 1, on a : g
(k) (0) = E[X
k ].
D´ emonstration. — Nous faisons la d´ emonstration dans le seul cas o` u X
admet une densit´ e f .
1) Il s’agit de montrer que pour tout k ≥ 1, on a E[ |X|
k ] =
R
|x|
k f (x) dx < +∞. Soit 0 < s < u 0 = min(−u 1 , u 2 ) fix´ e. Le d´ eveloppement en s´ erie de e
s|x| pour x r´ eel permet d’´ ecrire l’in´ egalit´ e s
k
|x|
k /k! ≤ e
s|x|
valable pour tout k ≥ 1, d’o` u encore |x|
k
≤ k! e
s|x| /s
k . Il en r´ esulte, pour
tout k ≥ 1, les relations :
E[ |X|
k ] ≤
k!
s k
+∞
−∞
e
s|x| f (x) dx =
k!
s k
+∞
0
e
sx f (x) dx +
0
−∞
e
−sx f (x) dx
≤
k!
s k
+∞
−∞
e
sx f (x) dx +
+∞
−∞
e
−sx f (x) dx
=
k!
s k
g X (s) + g X (−s)].
La derni` ere quantit´ e est finie puisque par hypoth` ese g X (s) et g X (−s) sont
finies.
2) Posons : g(t) =
+∞
−∞
e
tx f (x) dx =
+∞
−∞
k≥0
(tx)
k
k!
f (x) dx.
Il s’agit de montrer que l’on peut permuter les signes de sommation et
d’int´ egration. D´ efinissons :
h(x) = f (x) e
tx
et
h n (x) = f (x)
n
k=0
(tx)
k
k!
(n = 1, 2, . . . ).
On constate que pour tout nombre r´ eel x on a lim n h n (x) = h(x). De plus,
pour tout n = 1, 2, . . . on a les majorations :
|h n (x)| ≤ f (x)
n
k=0
|tx|
k
k!
≤ f (x)
k≥0
|tx|
k
k!
= f (x) e
|tx|
≤ f (x) e
s|x| .
D’autre part, par un raisonnement analogue `
a celui de 1), on a :
+∞
−∞
e
s|x| f (x) dx ≤ g(s) + g(−s) < +∞.