2. PROPRI ´
ET ´
ES ´
EL ´
EMENTAIRES
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admettant des fonctions g´ en´ eratrices des moments, non ind´ ependantes, et
qui, n´ eanmoins, v´ erifient (2.2), comme le montre l’exemple suivant.
Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires dont la loi conjointe admet
la densit´ e :
f (x, y) =
2, si (x, y) ∈ E ;
0, sinon ;
o` u E est la partie hachur´ ee de [0, 1] × [0, 1] repr´ esent´ ee dans la Figure 1.
0
1 /2
1
1/2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1
Les variables al´ eatoires X et Y ne sont pas ind´ ependantes : on a, par
exemple, P{X ≤ 1/4, Y ≥ 3/4} = 0, alors que P{X ≤ 1/4} = P{Y ≥
3/4} = 1/4. Prenons, par ailleurs, un couple (X
∗ , Y
∗ ) de variables al´ eatoires
ind´ ependantes, uniform´ ement r´ eparties sur [0, 1]. On v´ erifie que L(X) =
L(X
∗ ), L(Y ) = L(Y
∗ ), L(X + Y ) = L(X
∗ + Y
∗ ) (cf. Exercice 1). Comme
toutes les variables al´ eatoires X, Y , X+Y , X
∗ , Y
∗ , X
∗ +Y
∗ sont born´ ees, elles
admettent des fonctions g´ en´ eratrices des moments et l’on a, pour tout nombre
r´ eel u les identit´ es : g X+Y (u) = g X ∗ +Y ∗ (u) = g X ∗ (u) g Y ∗ (u) = g X (u) g Y (u).
Ainsi le couple (X, Y ) de variables al´ eatoires non ind´ ependantes v´ erifie aussi
g X+Y = g X g Y .
Le th´ eor` eme 2.3 admet les corollaires suivants.
Corollaire 1. — Le produit de deux fonctions g´ en´ eratrices des moments
est une fonction g´ en´ eratrice des moments.
Corollaire 2. — Si g est une fonction g´ en´ eratrice des moments, il en
est de mˆ eme de h(u) = g(u)g(−u). De fa¸ con pr´ ecise, si X est une variable
al´ eatoire admettant une fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) et si X
est
une variable al´ eatoire ind´ ependante de X et admettant mˆ eme loi que X, alors
la variable al´ eatoire Y = X −X
admet une fonction g´ en´ eratrice des moments
qui n’est autre que h(u) = g(u)g(−u). La variable al´ etoire Y est appel´ ee la
sym´ etris´ ee de X.