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CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
2. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires
Proposition 2.1. — Soit g X la fonction g´ en´ eratrice des moments d’une
variable al´ eatoire X.
(1) Pour a, b r´ eels, on a : g aX+b (u) = e
bu g X (au).
(2) La fonction g X (−u) est aussi une fonction g´ en´ eratrice des moments.
(3) Si la loi de X est sym´ etrique, c’est-` a-dire si L(X) = L(−X), alors
g X est une fonction paire.
(4) La fonction g X est convexe.
D´ emonstration. — La propri´ et´ e (1) est ´ evidente. Pour ´ etablir la propri´ et´ e (2), on note que la fonction g X (−u) est la fonction g´ en´ eratrice des
moments de la variable al´ eatoire −X. La propri´ et´ e (3) r´ esulte de :
g X (u) = E[e
uX ] = E[e
u(−X) ] = E[e
(−u)X ] = g X (−u).
Enfin, la propri´ et´ e (4) r´ esulte du fait qu’une fonction g´ en´ eratrice est combinaison convexe de fonctions exponentielles.
Th´ eor` eme 2.2 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction g´ en´ eratrice des
moments d’une variable al´ eatoire d´ etermine la loi de cette variable. En d’autres termes, si deux variables al´ eatoires admettent mˆ eme fonction g´ en´ eratrice
des moments, alors elles ont mˆ eme loi.
D´ emonstration. — Elle n’est ais´ ee que lorsque la variable al´ eatoire X
prend ses valeurs dans N. Dans ce cas, en effet, il est de coutume de remplacer
la fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) = E[e
uX ] par la fonction g´ en´ eratrice
G(s) = E[s
X ], qui joue essentiellement le mˆ eme rˆ ole. Or on a pu ´ etablir de
fa¸ con ´ el´ ementaire que la fonction G d´ etermine la loi de X (cf. Th´ eor` eme 1.4
du chap. 9).
Dans le cas g´ en´ eral, la d´ emonstration du th´ eor` eme d’unicit´ e est plus
complexe (cf. Billingsley.
1 )
Th´ eor` eme 2.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont chacune admet une fonction g´ en´ eratrice des moments. Alors la
somme X + Y admet une fonction g´ en´ eratrice des moments et l’on a :
(2.2)
g X+Y = g X g Y .
D´ emonstration. — On a : g X+Y (u) = E[e
u(X+Y ) ] = E[e
uX e
uY ] ; comme
X et Y sont ind´ ependantes, les variables e
uX et e
uY le sont aussi. D’apr` es
l’Application du Th´ eor` eme 2.2 du chap. 11, on en d´ eduit : g X+Y (u) =
E[e
uX ] E[e
uY ] = g X (u) g Y (u).
Remarque. — La propri´ et´ e (2.2) n’est pas caract´ eristique de l’ind´ ependance : il est possible de construire un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires
1 Billingsley (P.). — Probability and Measure, troisi` eme ´ edition. — New York, Wiley,
, p. 390.
CHAPITRE 13 : FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS
2. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires
Proposition 2.1. — Soit g X la fonction g´ en´ eratrice des moments d’une
variable al´ eatoire X.
(1) Pour a, b r´ eels, on a : g aX+b (u) = e
bu g X (au).
(2) La fonction g X (−u) est aussi une fonction g´ en´ eratrice des moments.
(3) Si la loi de X est sym´ etrique, c’est-` a-dire si L(X) = L(−X), alors
g X est une fonction paire.
(4) La fonction g X est convexe.
D´ emonstration. — La propri´ et´ e (1) est ´ evidente. Pour ´ etablir la propri´ et´ e (2), on note que la fonction g X (−u) est la fonction g´ en´ eratrice des
moments de la variable al´ eatoire −X. La propri´ et´ e (3) r´ esulte de :
g X (u) = E[e
uX ] = E[e
u(−X) ] = E[e
(−u)X ] = g X (−u).
Enfin, la propri´ et´ e (4) r´ esulte du fait qu’une fonction g´ en´ eratrice est combinaison convexe de fonctions exponentielles.
Th´ eor` eme 2.2 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction g´ en´ eratrice des
moments d’une variable al´ eatoire d´ etermine la loi de cette variable. En d’autres termes, si deux variables al´ eatoires admettent mˆ eme fonction g´ en´ eratrice
des moments, alors elles ont mˆ eme loi.
D´ emonstration. — Elle n’est ais´ ee que lorsque la variable al´ eatoire X
prend ses valeurs dans N. Dans ce cas, en effet, il est de coutume de remplacer
la fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) = E[e
uX ] par la fonction g´ en´ eratrice
G(s) = E[s
X ], qui joue essentiellement le mˆ eme rˆ ole. Or on a pu ´ etablir de
fa¸ con ´ el´ ementaire que la fonction G d´ etermine la loi de X (cf. Th´ eor` eme 1.4
du chap. 9).
Dans le cas g´ en´ eral, la d´ emonstration du th´ eor` eme d’unicit´ e est plus
complexe (cf. Billingsley.
1 )
Th´ eor` eme 2.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes dont chacune admet une fonction g´ en´ eratrice des moments. Alors la
somme X + Y admet une fonction g´ en´ eratrice des moments et l’on a :
(2.2)
g X+Y = g X g Y .
D´ emonstration. — On a : g X+Y (u) = E[e
u(X+Y ) ] = E[e
uX e
uY ] ; comme
X et Y sont ind´ ependantes, les variables e
uX et e
uY le sont aussi. D’apr` es
l’Application du Th´ eor` eme 2.2 du chap. 11, on en d´ eduit : g X+Y (u) =
E[e
uX ] E[e
uY ] = g X (u) g Y (u).
Remarque. — La propri´ et´ e (2.2) n’est pas caract´ eristique de l’ind´ ependance : il est possible de construire un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires
1 Billingsley (P.). — Probability and Measure, troisi` eme ´ edition. — New York, Wiley,
, p. 390.