CHAPITRE 13
FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS ;
FONCTION CARACT ´
ERISTIQUE
Nous avons ´ etudi´ e au chapitre 9 la notion de fonction g´ en´ eratrice d’une
variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans N. Dans le cas des variables al´ eatoires quelconques, il convient de modifier l´ eg` erement la d´ efinition de cette
notion. On introduit alors une fonction r´ eelle qui, si elle est d´ efinie dans un
voisinage de l’origine, contient toute l’information utile sur les moments de
cette variable al´ eatoire. La fonction caract´ eristique est la version complexe
de la fonction g´ en´ eratrice des moments.
1. Introduction. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle ; associons-lui
la fonction g X (u) = E[e
uX ] de la variable r´ eelle u, d´ efinie sur l’ensemble
des valeurs u pour lesquelles E[e
uX ] < +∞. Les propri´ et´ es suivantes sont
imm´ ediates :
1) La fonction g X est toujours d´ efinie pour u = 0 et g X (0) = 1. Il existe
des variables al´ eatoires dont la fonction g X associ´ ee n’est d´ efinie que pour
u = 0 (par exemple, la variable al´ eatoire de Cauchy).
2) Si X est born´ ee, alors g X est d´ efinie et continue sur tout R.
3) Si X est ` a valeurs positives, alors g X est continue et born´ ee sur
] − ∞, 0]. Dans ce cas, on fait souvent le changement de variable u = −v
et l’on obtient alors la transform´ ee de Laplace de (la loi de) X :
L X (v) = g X (−v) = E[e
−vX ].
La fonction L X ainsi d´ efinie est une fonction continue et born´ ee sur [0, +∞[.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle telle que la fonction
g X (u) = E[e
uX ]
de la variable r´ eelle u soit d´ efinie dans un voisinage ouvert de l’origine. Cette
fonction est alors appel´ ee fonction g´ en´ eratrice des moments de (la loi de) X.
La terminologie fonction g´ en´ eratrice des moments est bien appropri´ ee. En
effet, on montrera (Th´ eor` eme 3.1) que si une variable al´ eatoire r´ eelle X admet
une fonction g´ en´ eratrice des moments g X , alors
a) elle admet des moments de tous les ordres (entiers positifs) ;
b) la fonction g X est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere dans un voisinage de
l’origine et le moment d’ordre n de X apparaˆ ıt comme le coefficient de u
n /n!
dans ce d´ eveloppement.
FONCTION G ´
EN ´
ERATRICE DES MOMENTS ;
FONCTION CARACT ´
ERISTIQUE
Nous avons ´ etudi´ e au chapitre 9 la notion de fonction g´ en´ eratrice d’une
variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans N. Dans le cas des variables al´ eatoires quelconques, il convient de modifier l´ eg` erement la d´ efinition de cette
notion. On introduit alors une fonction r´ eelle qui, si elle est d´ efinie dans un
voisinage de l’origine, contient toute l’information utile sur les moments de
cette variable al´ eatoire. La fonction caract´ eristique est la version complexe
de la fonction g´ en´ eratrice des moments.
1. Introduction. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle ; associons-lui
la fonction g X (u) = E[e
uX ] de la variable r´ eelle u, d´ efinie sur l’ensemble
des valeurs u pour lesquelles E[e
uX ] < +∞. Les propri´ et´ es suivantes sont
imm´ ediates :
1) La fonction g X est toujours d´ efinie pour u = 0 et g X (0) = 1. Il existe
des variables al´ eatoires dont la fonction g X associ´ ee n’est d´ efinie que pour
u = 0 (par exemple, la variable al´ eatoire de Cauchy).
2) Si X est born´ ee, alors g X est d´ efinie et continue sur tout R.
3) Si X est ` a valeurs positives, alors g X est continue et born´ ee sur
] − ∞, 0]. Dans ce cas, on fait souvent le changement de variable u = −v
et l’on obtient alors la transform´ ee de Laplace de (la loi de) X :
L X (v) = g X (−v) = E[e
−vX ].
La fonction L X ainsi d´ efinie est une fonction continue et born´ ee sur [0, +∞[.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle telle que la fonction
g X (u) = E[e
uX ]
de la variable r´ eelle u soit d´ efinie dans un voisinage ouvert de l’origine. Cette
fonction est alors appel´ ee fonction g´ en´ eratrice des moments de (la loi de) X.
La terminologie fonction g´ en´ eratrice des moments est bien appropri´ ee. En
effet, on montrera (Th´ eor` eme 3.1) que si une variable al´ eatoire r´ eelle X admet
une fonction g´ en´ eratrice des moments g X , alors
a) elle admet des moments de tous les ordres (entiers positifs) ;
b) la fonction g X est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere dans un voisinage de
l’origine et le moment d’ordre n de X apparaˆ ıt comme le coefficient de u
n /n!
dans ce d´ eveloppement.