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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
10. (Calcul de l’esp´ erance math´ ematique d’une variable g´ eom´ etrique)
Soit une urne contenant r boules blanches et s boules noires (r, s ≥ 1) ;
on pose p = r/(r + s). On proc` ede ` a une suite de tirages avec remise et l’on
d´ esigne par N le nombre de tirages n´ ecessaires pour amener pour la premi` ere
fois une boule blanche (N est alors une variable al´ eatoire g´ eom´ etrique).
On introduit une variable al´ eatoire X qui prend la valeur 1 ou 0, suivant que la premi` ere boule tir´ ee est blanche ou non. Calculer l’esp´ erance
math´ ematique de N en utilisant les formules sur l’esp´ erance conditionnelle,
lorsque l’on conditionne N par rapport `
a la variable X.
11. (Suite de l’exercice 10). — Soit une urne contenant r boules blanches
et s boules noires (r, s ≥ 1). On proc` ede ` a une suite de tirages sans remise
et l’on d´ esigne par N r,s le nombre de tirages n´ ecessaires pour amener pour
la premi` ere fois une boule blanche. Pour calculer E[N r,s ], on peut proc´ eder
comme suit : soit X la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1 ou 0 suivant
que la premi` ere boule tir´ ee est blanche ou noire. On calcule E[N r,s ] par la
formule E[N r,s ] = E[E[N r,s | X] ].
a) Montrer que les nombres a r,s = E[N r,s ] v´ erifient le syst` eme de r´ ecurrence : a r,s = 1 + (s/(r + s))a r,s−1 pour r, s ≥ 1 et a r,0 = 1 pour tout
r ≥ 1.
b) Montrer que ce syst` eme admet une solution et une seule donn´ ee par
a r,s = E[N r,s ] = (r + s + 1)/(r + 1).
12. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ` a valeurs dans N
et v´ erifiant 0 ≤ Y ≤ X, E[X] < +∞. On suppose que la loi de Y ,
conditionnellement `
a X, est la loi uniforme sur {0, 1, . . . , X}.
1) Calculer E[X] en fonction de E[Y ].
2) Montrer que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) le couple (X − Y, Y ) est ind´ ependant ;
b) la variable al´ eatoire Y suit une loi g´ eom´ etrique : P{Y = n} = q
n p
(n ≥ 0).
13. (St´ ephanie et l’assurance-chˆ omage). — Soit X le temps s’´ ecoulant
jusqu’` a l’instant o` u un individu d’une population donn´ ee se retrouve au
chˆ omage. On suppose que X suit une loi exponentielle de param` etre λ (voir
chap. 14, § 5). La compagnie d’assurance qui assure cette population contre
le chˆ omage veut calculer le temps moyen de travail pour la sous-population
qui sera au chˆ omage entre le temps a et le temps b (0 < a < b < +∞).
a) Soit g(a, b) ce temps moyen. Comment faut-il faire le calcul de g(a, b) ?
b) D´ eterminer la limite de g(a, b) quand b tend vers l’infini. Aurait-on
pu pr´ evoir ce r´ esultat sans calcul ?
c) D´ eterminer la limite de g(a, a + ε), lorsque ε tend vers 0 par valeurs
positives.
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
10. (Calcul de l’esp´ erance math´ ematique d’une variable g´ eom´ etrique)
Soit une urne contenant r boules blanches et s boules noires (r, s ≥ 1) ;
on pose p = r/(r + s). On proc` ede ` a une suite de tirages avec remise et l’on
d´ esigne par N le nombre de tirages n´ ecessaires pour amener pour la premi` ere
fois une boule blanche (N est alors une variable al´ eatoire g´ eom´ etrique).
On introduit une variable al´ eatoire X qui prend la valeur 1 ou 0, suivant que la premi` ere boule tir´ ee est blanche ou non. Calculer l’esp´ erance
math´ ematique de N en utilisant les formules sur l’esp´ erance conditionnelle,
lorsque l’on conditionne N par rapport `
a la variable X.
11. (Suite de l’exercice 10). — Soit une urne contenant r boules blanches
et s boules noires (r, s ≥ 1). On proc` ede ` a une suite de tirages sans remise
et l’on d´ esigne par N r,s le nombre de tirages n´ ecessaires pour amener pour
la premi` ere fois une boule blanche. Pour calculer E[N r,s ], on peut proc´ eder
comme suit : soit X la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1 ou 0 suivant
que la premi` ere boule tir´ ee est blanche ou noire. On calcule E[N r,s ] par la
formule E[N r,s ] = E[E[N r,s | X] ].
a) Montrer que les nombres a r,s = E[N r,s ] v´ erifient le syst` eme de r´ ecurrence : a r,s = 1 + (s/(r + s))a r,s−1 pour r, s ≥ 1 et a r,0 = 1 pour tout
r ≥ 1.
b) Montrer que ce syst` eme admet une solution et une seule donn´ ee par
a r,s = E[N r,s ] = (r + s + 1)/(r + 1).
12. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires ` a valeurs dans N
et v´ erifiant 0 ≤ Y ≤ X, E[X] < +∞. On suppose que la loi de Y ,
conditionnellement `
a X, est la loi uniforme sur {0, 1, . . . , X}.
1) Calculer E[X] en fonction de E[Y ].
2) Montrer que les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) le couple (X − Y, Y ) est ind´ ependant ;
b) la variable al´ eatoire Y suit une loi g´ eom´ etrique : P{Y = n} = q
n p
(n ≥ 0).
13. (St´ ephanie et l’assurance-chˆ omage). — Soit X le temps s’´ ecoulant
jusqu’` a l’instant o` u un individu d’une population donn´ ee se retrouve au
chˆ omage. On suppose que X suit une loi exponentielle de param` etre λ (voir
chap. 14, § 5). La compagnie d’assurance qui assure cette population contre
le chˆ omage veut calculer le temps moyen de travail pour la sous-population
qui sera au chˆ omage entre le temps a et le temps b (0 < a < b < +∞).
a) Soit g(a, b) ce temps moyen. Comment faut-il faire le calcul de g(a, b) ?
b) D´ eterminer la limite de g(a, b) quand b tend vers l’infini. Aurait-on
pu pr´ evoir ce r´ esultat sans calcul ?
c) D´ eterminer la limite de g(a, a + ε), lorsque ε tend vers 0 par valeurs
positives.